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Satz sich in der Weise umkehren lässt. dass ein bestimmtes Integral der 

 Form 



( 1 33) O (*) = -^ Cf (*) x-'- d z , 



wofern F{s) eine homogene lineare Differenzengleichung mit in Bezug auf z 

 rationalen Coefficienten befriedigt, unter gewissen Voraussetzungen einer homo- 

 genen linearen Differentialgleichung mit in Bezug auf x rationalen Coefficien- 

 ten Genüge leistet. 



Die Gammafunctionen befriedigen homogene lineare Differenzengleichungen 

 erster Ordnung. Als Beispiel eines Integrals der Form (133) erörtert nun Herr 

 Pincherle in einer späteren Arbeit ') das Integral 



o (,.) = _L. &_r*> ) • • • £(■ -qJ d } 



w 2!tiJ r(s-<s 1 )...r(s — n ) v ' 



worin er indess statt x eine neue Veränderliche mittelst der Gleichung x — r~' 

 einführt. Er betrachtet zunächst dieses Integral unter der Voraussetzung, dass 

 der Integrationsweg eine Curve ist, welche die sämmtlichen, in der arithmetischen 

 Reihe q 1 , q { — 1 , ç x — 2 , • • • enthaltenen Unendlichkeitsstellen des Integrands 

 einsehliesst, die übrigen aber nicht. Mit Hülfe des CAucHTSchen Satzes findet 

 er, dass Q> in diesem Falle in eine nach Potenzen von e~' fortschreitende Reihe 

 entwickelbar ist, welche im Falle m = n nur für | e~' < 1 convergirt. Sodann 

 wird aber auch, unter der Voraussetzung m> n, eine unbegrenzte zur imagi- 

 nären Axe parallele gerade Linie als Integrationsweg benutzt, deren Lage £=c 

 so angenommen wird, dass c grösser ist als die reellen Theile von q u ■ ■ ■ , q„, . Für 

 <J>, als Function von t betrachtet, findet er die Differentialgleichung 



Oo + h <--') '/> + (Oi + h t-') 0' +■■■+ (a,„ + h„, e-<) Ö> (m) = O . 



Dies ist der wesentliche Inhalt der citirten Arbeit, insofern sie die hypergeo- 

 metrischen Functionen (im Sinne von Gauss, Pfaff und Gouesat) betrifft. 

 Darin werden also, und zwar, soviel ich weiss, zum ersten Male in der Litteratur, 

 gewisse hypergeometrische Functionen in der bemerkenswerthen Form von be- 

 stimmten einfachen, über Gammafunctionen gebildeten Integralen betrachtet, 

 worin die Variable x = e - ' in einer für Differentiationen und Integrationen 

 sehr geeigneten Weise als Parameter enthalten ist. 



M Sülle funzloni ipergeometriche generalizzale. Rend, délia R. Accad. dei Lincei. Vol. IV. 

 fasc. 12. 13. S. 792-7'i9. 1888. 



