Gamma- und hypet 'geometri 'sehe Functionen. 89 



In entfernterem Zusammenhange steht die gegenwärtige Arbeit mit den 

 Untersuchungen ') des Herrn Pincherle über Functionalgleichungen der Form 



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034) ^KF(0 + « v ) = f( S ), 



v=o 



wo die Coeffieienten h r constante Grössen oder rationale Functionen von e be- 

 zeichnen, während f(s) eine gegebene Function, inclusive die Null, bedeutet. 

 Die linearen Differenzengleichungen sind als specielle Fälle in dieser Gleichung 

 enthalten. Herr Pincherle zeigt, dass man Lösungen derselben in der Form 

 des bestimmten Integrals (132) erhalten kann, falls darin die Function </> so 

 bestimmt wird, dass sie einer gewissen linearen Differentialgleichung genügt, 

 deren Constanten in bestimmter Weise von denen der Gleichung (134) abhängen. 

 Statt x wird indess in (132) ^ = loga; als Integrationsvariable benutzt. Die 

 Ermittelung von Lösungen der obigen Functionalgleichung wird also mit Hülfe 

 von (132) zurückgeführt auf die Integration einer gewissen linearen Differential- 

 gleichung. Die Aufgabe der vorliegenden Arbeit, von ihrer specielleren Art 

 zugleich abgesehen, ist offenbar der von Herrn Pincherle erörterten gerade 

 entgegengesetzt, Denn hier wird die Integration sämmtlicher hypergeometri- 

 scher Differentialgleichungen durch Vermittelung von (133) zurückgeführt auf 

 die Bestimmung passender Gammafunctionen F (2), d. h. passender Functionen, 

 die homogene lineare Differenzengleichungen erster Ordnung befriedigen, und 

 welche bewirken, dass (b (x) gleich jeder beliebig angenommenen hypergeome- 

 trischen Function wird. 



Die in § 14 entwickelten, ziemlich allgemeinen Sätze über bestimmte In- 

 tegrale glaube ich, mit Rücksicht auf die denselben zu Grunde liegenden Vor- 

 aussetzungen, als neu betrachten zu dürfen. Dieselben können gewissennassen 

 als in der Formel (72) : 



00 CO a + iao 



_i dx 



(135) F(z) = f«> (*; 0) aT 1 dx = JV" 1 g, f F(w) 



dw 



+ CO 



= /"äJ* *>>- xw *« 



zusammengefasst gedacht werden, bei deren Herleitung die fraglichen Sätze 

 verwendet worden sind. Doch kommen in der Litteratur Formeln vor, die sich 



') Sulla risoluzione dell'equazione funzionale S h v q> (x -j- ct v ) = f(r\. Mcm. delhi I!. Arrad 

 delle Sc. dell'Istituto di Bologna 1888. 



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