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von dieser nur dadurch unterscheiden, dass die Integrationswege (der eine oder 

 beide) infolge anderer, über F (2) geltender Voraussetzungen von den in der 

 obigen Formel benutzten verschieden sind. 



In Riemanns Aufsatze über die Primzahlen (Werke p. 140) heisst es: 

 „Diese Gleichung ist aber gültig für jeden complexen Werth a + ib von s, 

 wenn a > 1 . Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung 



00 1 



g („•) = Çh O) x-> d log x f= Ç h ( l x \ x~ l dx\ 

 o o 



gilt, so kann man mit Hülfe des FouRiERSchen Satzes die Function h durch 

 die Function g ausdrücken. Die Gleichung zerfält, wenn h (x) reel ist und 

 g (rt + i b) = g x (b) + i g. 2 (b), in die beiden folgenden : 



g l (b) = I /( (x) .c"" COS (b log X) (Ï lOE 







CO 



f/ 2 (/>) = — i I h (x) x~" sin (6 log x) d log . 



3g X 



CO 







Wenn man beide Gleichungen mit [cos (/> log y) + i sin (/; log ?/)] d b multiplicirt 

 und von — co bis + od integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite 

 nach dem FouRiERSchen Satze n h (y) y~", also, wenn man beide Gleichungen 

 addirt und mit iy" multiplicirt 



«+100 



2itih(y)= j g(s)y'di 



worin die Integration so auszuführen ist, dass der reelle Theil von s constant 

 bleibt". 



Um den hierin enthaltenen Satz mit der Formel (135) vergleichen zu kön- 

 nen, führe man in die erste RiEMANNSche Gleichung ^ als Integrationsvariable 

 ein und setze in der letzten y = 1 und s = tv ; dann folgt aus beiden 



1 « + 100 



s-i dx 



g(s)= |V ^. I" g{w)x-«dw 



Unsere Formel (135) stimmt offenbar mit dieser nur in solchen Fällen überein, 



wo das Integral 



