92 Hj. Mellin. 



V(î/)=Js(y,t)f(t)dt 



(1) 



statt hat, beschäftigt sich der erste Abschnitt seiner Arbeit mit den rein for- 

 malen Eigenschaften der angeführten Integrale, so dass also keine Rücksicht 

 darauf genommen wird, ob man wirklich solche Integrationswege finden kann, 

 dass die Integrale, ausser den formalen Eigenschaften, auch einen bestimm- 

 ten Sinn erhalten. Im zweiten Abschnitte wird dieser letztere Umstand unter 

 gewissen Voraussetzungen über A {x , y) ebenfalls berücksichtigt. Die spe- 

 cialisirten Untersuchungen umfassen, soviel ich sehen kann, nicht die For- 

 mel (135). 



Es sei mir in diesem Zusammenhange gestattet, die Aufmerksamkeit des 

 Lesers auf die Umkehrungen der in § 14 enthaltenen allgemeinen Sätze zu 

 lenken. 



Von irgend einer Function d> (x) nehme man an, dass sie sich in der 

 Umgebung jeder Stelle (die Punkte x = o und x = 00 ausgenommen) im Inne- 

 ren und auf der Begrenzung des durch die Ungleichheiten 



charakterisirten Bereiches von x = q e' e regulär verhält und die Eigenschaft 

 besitzt, dass das Product x k Q) (x), falls k eine beliebige die Bedingung « < k < ß 

 erfüllende Constante bedeutet, sowohl bei Annäherung von x an die Stelle 

 x = o wie auch bei Annäherung von x an die Stelle x = 00 , gleichmässig gegen 

 die Null convergirt. Alsdann stellt das Integral 



CO 



F (z)= Cd)(x)x"- 1 dx, 







wie leicht zu finden ist, eine in dem Parallelstreifen (« <: £ <; ß) überall regu- 

 lär sich verhaltende Function von z = 'Ç + i £' dar, welche bei wachsendem ! £' | 

 dem absoluten Betrage nach nicht ohne Ende wächst. Aus den mit Hülfe des 

 CAucHYSchen Satzes sich ergebenden Gleichungen 



CO CO 



F (;) = e i& Cd) (e i9 x) aT 1 dx , F(z) = e"* a f <p (e~ i9 x) x 1 ' 1 dx 



(i 



folgt 



FU) = 

 w sin^J 2i 



1 I' («T**«) - 0(e i9 x) ,_ x 



