Gamma- und hypergeometrische Functionen. 93 



Weil .c als eine reelle und positive Integrationsvariable betrachtet, wird und 

 das Integral auf der rechten Seite somit bei wachsendem | f ! endlich bleibt, 

 so folgt aus dieser Formel, dass F (z) für unendlich grosse, dem Streifen 

 (ci<'C<ß) angehörige Werthe von z auf die Form gebracht werden kann: 



wo i/' für ;'' = +oo, «<t;<ß, endlich ist. Demnach kann, wie in § 14, das 

 folgende Integral gebildet werden: 



v 2*r; J 2sr>J 2î z J sin#* ' 



c+ioo 



i /* i /» fl> fe-" r art — <b(e %9 x\ J. 



0\ 



- ■ ■ ist 



c— i oo c—i 00 



wo 6- die Bedingung a < c < ß, und t = q e' e die Bedingung — #< e < ■» erfüllt. 

 Durch zweimalige Anwendung des CAucHYSchen Satzes lassen sich die beiden 

 Integralzeichen des letzten Ausdrucks wegschaffen, wobei am zweckmässigsten 

 statt » ein Bogen *<& benutzt werden kann. Nachdem dies geschehen, bleibt 

 auf der rechten Seite nur o(t) übrig, womit endlich bewiesen ist, dass 

 0(t;c) = (/), d. h. dass 



c+ioo 



(136) O (0 = ~ C r'de C O (x) x z ~ x dx . 



c— 100 



Es verdient bemerkt zu werden, dass die Herleitung dieser Formel auch 

 durch eine geeignete Substitution einer neuen Veränderlichen auf die Sätze des 

 § 14 gegründet werden kann. — Ich behalte mir vor, jene und diese Sätze auf 

 Functionen mehrerer Variablen gelegentlich auszudehnen. (Cf. die am Anfang 

 dieser Arbeit befindliche Note über hypergeometrische Functionen mehrerer 

 Veränderlichen). 



30. 



Dieser und der folgende § enthalten solche Anwendungen des CAucHYschen 

 Satzes, durch welche, wie in § 13, Darstellungen von Gammafunctionen als 

 Summen von neuen Functionen, die ebenfalls einfache Functionalgleichungen 

 befriedigen, erhalten werden. Hierbei sollen nur die zu den einfachsten Er- 

 gebnissen führenden Gammafunctionen in Betracht genommen werden. 



Die übrigen §§ dieses Abschnittes enthalten den Nachweis, dass eine jede 

 hypergeometrische Differentialgleichung mit Hülfe der Gammafunction in früher 

 angegebenem Sinne vollständig integrirt werden kann. 



