Gamma- und hypergeometrische Functionen. 95 



Bezeichnet s einen beliebigen Werth innerhalb des genannten Achteckes, 

 so ist nach dem CAucHYSchen Satze 



falls die Integration längs der Begrenzung des Achteckes in positiver Richtung 

 erstreckt wird. Dieses Integral können wir als Summe von vier Integralen 

 betrachten, von denen zwei, sie mögen (/) und (L) heissen, resp. über diejeni- 

 gen Theile der Linien / und L erstreckt sind, die der Begrenzung des Acht- 

 eckes angehören. Die beiden anderen, die durch (//,) und (g 2 ) bezeichnet wer- 

 den mögen, sind resp. erstreckt über diejenigen Theile der die Linien l und L 

 schneidenden geraden Linie, welche ebenfalls der Begrenzung des Achteckes 

 angehören. Was ergiebt sich nun aus der Gleichung F(z) = (l)-\-(L) + (g l ) + (cf 2 ), 

 falls die Geraden g : und g 2 ins Unendliche verschoben werden? 



Beschränkt man die Variable w = u + i v auf einen beliebigen, zur reelle» 

 Axe parallelen Streifen («<:v <; /3), so wird das Verhalten irgend einer die 

 Functionalgleichung F{w + i) = + R (w) F (iv) befriedigenden Function für un- 

 endlich grosse, diesem Streifen angehörige Werthe von w durch die Glei- 

 chungen (76), • ■ • , (79) des § 15 charakterisirt. Aus den Gleichungen (77) und 

 (79) folgt 



r . q oN F(ll . n _/4..v* wr*(w — k?F{u) 



(138) t {11 - k) _ (± i) — — — „ ! t — 1 



[(W - 1) (Ml - 2) - • - (W - &)] / (--j) / (^r,) ■ • • f(-^) 



wo f die in § 15 angegebene Bedeutung hat. Beachtet man zugleich den 

 allgemeinen Satz desselben §, so zeigt diese Formel, wie sich F (w) verhält, 

 falls die unabhängige Variable in der negativen Richtung der reellen Axe sich 

 ins Unendliche entfernt. 



Ist zunächst m > n , so nähern sich offenbar die beiden Integrale (^) und 

 (g 2 ) der Grenze Null, während die beiden anderen (l) und (L) gegen gewisse 

 endliche Grenzwerthe P (z) und Q (3) resp. convergiren. 



Ist aber m = n , so ist es nöthig vorauszusetzen, dass der reelle Theil von 

 y. < o sei, damit — — '-^ von höherer als der ersten Ordnung unendlich klein 



ir — 00 — 8 



sei. Bekanntlich ist dies auch eine hinreichende Bedingung dafür, dass die 

 Integrale P (z) und Q (£), worin (l) und (L) resp. übergehen, beide einen be- 

 stimmten Sinn haben sollen. Überdies nähern sich dann (</[) und (g 2 ) beide 

 der Grenze Null, so dass man auch jetzt die Gleichung bekommt: 



F(*) = P(s) + $(*); 



