Gamma- und hypergeometrische Functionen. P7 



wo r (z) eine mit B (s) gleichnamige rationale Function bedeutet, bei welcher 

 die Gradzahl des Zählers kleiner ist als m. 



Der am Anfang des § 14 durch die Functionen P und Q des § 13 ver- 

 mittelte Übergang von den Gamma- zu den hypergeometrischen Functionen 

 lässt sich hier nicht derart bewerkstelligen, dass F (z), wie in § 14, in der 

 Form eines bestimmten, über eine hypergeometrische Function gebildeten Inte- 

 grals dargestellt würde. Zwar lässt sich P{z) in dieser Form darstellen, wenn 

 z so bescln'änkt wird, dass der reelle Theil von z — w während des ganzen 

 Laufes der längs l erstreckten Integration positiv bleibt. In dem Integrale 

 Q (z) können wir aber, welchen Werth auch s innerhalb des von L umgrenz- 

 ten Gebietes besitze, nicht setzen: 



j i 



co 



W-0 J 



weil der reelle Theil von w — z während des Laufes der auf L sich beziehen- 

 den Integration stets sein Zeichen wechselt, 



31. 



Unter der Annahme, dass m = n und zugleich der reelle Theil von x < o 

 sei, soll die Gleichung F (z) = P (z) + Q (z) noch w r eiter erörtert werden. Wir 

 stellen uns vor, dass der Integrationsw r eg L des Integrals Q (z) in der positi- 

 ven Richtung der reellen Axe ohne Ende verschoben wird, wobei Q (z) sich 

 offenbar nicht verändert, Wird Q (z) als Summe dreier Integrale aufgefasst, 

 die bezüglich über die geradlinigen Theile von L erstreckt sind, so nähert sich 

 das auf den zur imaginären Axe parallelen Theil sich beziehende Integral wegen 

 % < o der Grenze Null, während die beiden anderen ebenfalls gegen gewisse 

 endliche Grenzwerthe convergiren. Aus den Gleichungen (76) und (78) des § 15 

 folgt nämlich im Falle m = n die Formel 



(139) F(w + k) = (± 1/' F(w) ■ ('^) K f(l) f( 7 ^) ■ ■ ■ /-(^.-t) > 



woraus sich die Richtigkeit der Behauptungen leicht ergiebt. 

 Demnach wird 



<2 (*) = &(*)+& 00, 



wo 



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