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98 Hj. Mellin. 



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Hierbei soll « algebraisch kleiner, |3 grösser als die Ordmaten von Qi, ■■■ , q„, 

 sein. 



Es ergiebt sieb leicht, dass Q x und Q» beide den Charakter einer ganzen 



Function haben. Dieselben befriedigen ebenfalls einfache Functionalgleichungen : 



Qz( g + = + *(*)&(') + »'»00. 



wo f\ und r z mit iü gleichnamige rationale Functionen bezeichnen. Die Grad- 

 zahl des Zählers von r x und die des Zählers von r., sind kleiner als m = n . 

 Natürlich muss t\ (z) + r 2 (z) = r (z) sein. 



32. 



Wir gehen jetzt zur eigentlichen Aufgabe dieses Abschnittes über, indem 

 wir in den folgenden §§ schliesslich zeigen werden, dass alle hypergeometrischen 

 Differentialgleichungen: 



(A - B 1") y + ^-Bt Ô '§ + - + (4. - B m t k ) f" || = o 



mit Hülfe der Gammafunction in früher angegebenem Sinne vollständig inte- 

 grirt werden können. 



Durch die Substitution i h =x nimmt die obige Gleichung die Form an: 



(a - b x) ij + (o 1 —byX) x-£ + h 0„, - h,„ x) .r'" - !l - m = o . 



«* ax 



Bekanntlich kann man unbeschadet der Allgemeinheit (§ 19) annehmen, dass 

 a m nicht nur von Null verschieden, sondern auch gleich Eins ist. Bezeichnet 

 b„ die erste von den Constanten b m , b m ^, -•-.., b Q , die von Null verschieden ist, 

 so kann man b„ durch die Substitution x = ct, welche che Constanten a ,---,a m 

 offenbar nicht verändert, jeden beliebigen, von Null verschiedenen Werth er- 

 theilen. Wir können somit auch b„ = i annehmen. 



