Gamma- und hypergeometrische Functionen. 99 



Setzen wir nun 



/"(?) = «o + «i 9 + «2 9 (Q - H h £ fe - • ••(? - m + l) 



(?) = b + &! (?-!) + b,(Q - 1)(Q - 2) + - ■ • + (q - l)(ç - 2). . . (<? - n) 



und vestehen unter q 1} •■•, q„, 6 lf ■■■, 6„ Grössen, die durch die Identitäten 



f(fi) = (S + QÙ(fi + Q*)-~ + (.9 + 9m) 



9 (Q) = (Q + *i) (Q + G 2) ■ ■ ■ + (Q + O 



definirt sind, so kann (§§ 14, 19) die obige Differentialgleichung- auf die sym- 

 bolische Form gebracht werden: 



d \ t d \ ( d 



x E + fcj • • • \z Tx + Qm j y = x \x 5 + «r, + i j . . . (.* - + «r, + ij y , 



oder noch kürzer, auf die Form fix -,- J y = xr/ |.r y- + l W = .</ (.r ' j xy . 



Offenbar ist f(ç) : =o die zur singulären Stelle x — o, und #(1 — 9) = o die 

 zur singulären Stelle x = 00 gehörige determinirende Gleichung unserer Diffe- 

 rentialgleichung. Die Wurzeln der ersteren Gleichung sind demnach gleich 

 — Qu • ■ ■ ■> — Qm und die der letzteren gleich ö, + 1 , ■ • • , 6„ + 1 . 



Da die Differentialgleichung fUj)y = {/U ,\%y durch die Substitution 



(—#,.'•) sich in /' Ix , -1 y = — g Ix j-\xy verwandelt, und vice versa, so können 



wir unsere Aufgabe als gelöst betrachten, sobald es gelungen ist, das allgemeine 



Integral der einen oder der anderen von den Gleichungen fix , \y = +g(x j-)xy 



durch ein bestimmtes, über Gammafunctionen gebildetes Integral darzustellen, 

 welches die Substitution (— x , ce) gestattet. Das doppelte Zeichen der rechten 

 Seite soll weiterhin andeuten, dass wir das Zeichen derselben im Laufe der 

 allgemeinen Erörterungen nicht näher berücksichtigen wollen. 



33. 



Unsere Aufgabe ist nun, nachzuweisen, dass das allgemeine Integral der 

 Differentialgleichung 



04°) (* å + 9i)- (■' !!,. + ?■■) y=±U '!,. + *,)••• (x ;! + <>,) x y , 



, dx ' «y v dz ' xm )» ~-y dx ' v V dx 



wo m niemals kleiner als n sei (m > «), durch das bestimmte Integral 



