100 Hj. M ell ix. 



(141) O (x; I) = ~JG (w) </> (w, X) x-uhc , 



(!) 



wo G durch 



G 00 = r( M ,-ç l )---J'("'-e»K(i + ffi -«)--r(i + ff „-„), 



und ç durch 



cf(w,X) = smsr(tv — c 1 )"-sin«r(u> — c^) [A + v4 1 cotg*(«' - c t ) H \-A^ cotgar(w — c A )] 



definirt ist, dargestellt werden kann, wenigstens wenn man dem Integrale O in 

 gewissen, weiterhin näher anzugebenden Fällen einen Ausdruck hinzuaddirt, 

 der, ausser constanten Grössen, nur Potenzen von x, die auch mit Logarithmen 

 behaftet sein können, in endlicher Anzahl enthält. 



Der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber bedienen wir uns ausschliess- 

 lich solcher gebrochener Linien als Integrationswege /, die schon in den §§ 30 

 und 31 benutzt wurden. Unter / verstehen wir eine, aus drei den Coordinaten- 



- CO 



axen parallelen Geraden zusammengesetzte, durch keine Unendlichkeitsstelle von 

 G (tv) <p (w, X) hindurchgehende Linie, deren beide zur reellen Axe parallele 

 Theile sich in der negativen Richtung der reellen Axe ins Unendliche erstrec- 

 ken (Fig. 1. § 30). Unter l wird eine ebensolche Linie verstanden, deren 

 beide zur reellen Axe parallele Theile sich in der positiven Richtung der reel- 

 len Axe ins Unendliche erstrecken (Fig. 2. § 34). Durch l werden beide 

 Arten von Linien ohne Unterschied bezeichnet. Hinsichtlich der Lagen 



dieser Linien und der Breite des von einer solchen Linie eingeschlossenen Ge- 

 bietes der w-~Ebem wollen wir in diesem § noch nichts festsetzen. 



Da der unter dem Zeichen des Integrals (141) stehende Ausdruck 

 G(w)(p(tv,X) die Functionalgleichung F (w + 1) = + B (w) F (w) befriedigt, so 

 ergiebt sich mit Hülfe der Gleichung (138) und mit Benutzung bekannter Sätze 

 über bestimmte Integrale Folgendes: 



Ist m>n, so stellt das Integral ('40; über eine Linie l erstreckt, in der 

 ganzen z-Ebene eine monogene Function von x dar, für welche die Punkte 

 x = o und x — 00 die einzigen singulären Stellen sind. Dagegen hat es in 

 diesem Falle keinen Sinn, dass Integral (141) über eine Linie l zu erstrecken. 



° v / + G0 



Ist m — n, so stellt das Integral (141), über eine Linie/^ erstreckt, für 

 | x | < 1 eine monogene Function von x dar, für die der Punkt x = o im All- 

 gemeinen eine singulare Stelle ist. Es hat aber, falls | x j > 1 ist, keinen Sinn, 



