Gamma- und hypergeometrische Functionen. 101 



das Integral über eine solche Linie l zu erstrecken. Ist | x | = i , so hat das 

 Integral einen Sinn, falls x die Bedingung x. < — i erfüllt 1 ). 



Ist fortwährend m = n, so ergieht sich mit Hülfe der Formel (139), dass 

 das Integral (141), über eine Linie l erstreckt, für | x \ > 1 eine monogene 

 Function von x darstellt. Es hat aber falls | x \ < 1 ist, in diesem Falle kei- 

 nen Sinn, das Integral über eine solche Linie zu erstrecken. Ist | x | = 1 , so 

 hat das Integral einen Sinn, falls x die Bedingung x < — 1 erfüllt. 



Ein wesentlicher Unterschied zwischen den im Abschnitte II erörterten 

 Integralen d> (x; c) einerseits und den Integralen (141) andererseits besteht also 

 darin, dass während bei Angabe der Gültigkeitsbereiche der ersteren nur 



das Argument e, nicht aber der absolute Betrag von x = x \ e i6 , in Betracht 

 kommt — die letzteren Integrale für jeden "Werth von h einen Sinn haben, 

 wofern der absolute Betrag von x (im Falle in > n , aussei* o < | x \ < oo , kei- 

 ner Beschränkung) im Falle m — n der Beschränkung | x \ < 1 oder \x | > 1 

 unterworfen wird, je nachdem die Integration über eine Linie l oder eine Linie l 

 erstreckt ist. 



An der Hand des § 14 findet man, dass die Differentiation des Integrals 



(141) unter dem Integralzeichen bewerkstelligt werden darf, und dass die un- 

 bestimmte Integration gemäss der Gleichung 



(142) j 0(x; i )x ^ dx = _Lj G(w)(piw> x)^ ) dw + c 



ausgeführt werden kann, falls q keinen auf dem Integrationswege l liegenden 

 Werth bezeichnet. 



Jetzt soll eine jedenfalls hinreichende Bedingung dafür angegeben werden, 

 dass (l>(x;l) der Differentialgleichung (140) Genüge leisten soll. Durchläuft w 

 den Integrationsweg l, so durchläuft iv = w + 1 eine ganz ähnliche Linie l , 

 die auch als eine neue Lage der Linie l betrachtet werden kann, falls nämlich 

 l um die Strecke Eins in der positiven Richtung der reellen Axe verschoben 

 wird. Liegt nun weder auf der Linie / + noch innerhalb des Rechtecks, wel- 

 ches die der imaginären Axe parallelen Theile von l und V zu gegenüberlie- 

 genden Seiten hat, eine Unendlichkeitsstelle von G (w) cp (w, X), so ist auf Grund 

 des CAucHTSchen Satzes <1> (x; l) = </> (*; l +1 ). Bezeichnet man durch w' die In- 

 tegrationsvariable von d> (x; f*' 1 ) und führt den Integrationsweg / vermittelst 

 der Substitution w = w + 1 in die Lage / über, so ergiebt sich hierauf durch 



Cf. die Note des § 28. 



