Gamma- und hypergeometrische Functionen. 103 



Dass das Integral (143) unter den obigen Voraussetzungen nicht nur einen 

 bestimmten Sinn hat sondern auch der Gleichung (140) genügt, bedarf keiner 

 weiteren Erörterung, da (143) als specieller Fall in (141) enthalten ist und der 

 Integratiosweg l auf die im vorigen § angegebene Weise verschoben werden 

 kann. 



Die Unendlichkeitsstellen des Ausdrucks 



045) ^^ ^'^'''r r^ 



v ™' 7 1 (ir — <T,) ■■■r(/r — a„) 



sind sämmtlich in den m Reihen (144) als Glieder enthalten. Umgekehrt ist 

 auch, infolge unserer Voraussetzung über die m. n Differenzen Q lt — 6 V , jedes 

 Glied dieser Reihen eine Unendlichkeitsstelle für F(w), und zwar ist die Ord- 

 nungszahl der betreffenden Stelle genau gleich der Anzahl derjenigen Factoren 

 ritv — Qfi), die an derselben unendlich werden. Oies ist ein für unseren Nach- 

 weis wesentlicher Umstand. 



In üblicher Weise stellen wir uns vor, dass die Wurzeln — g l} ■■■, — q„ 

 der zur singulären Stelle x =0 gehörigen determinirenden Fundamentalgleichung 

 /'(9) = o derart in Gruppen gesondert sind, dass die Wurzeln einer und der- 

 selben Gruppe sich höchstens um ganze Zahlen von einander unterscheiden, 

 wahrend die Differenz irgend zweier, zu verschiedenen Gruppen gehöriger 

 Wurzeln keine ganze Zahl ist. Die sämmtlichen Wurzeln einer solchen Gruppe 

 seien — j> x > — q 2 7> ■■•> — Q k . Der entgegengesetzte Wert h jeder von diesen 

 Wurzeln, d. h. jede der Grössen 



Ql < o 2 < ■ ■ . < Qt 



ist als erstes Glied in irgend einer der m Reihen (144) enthalten. 



Auf die in § 3 angegebene Weise verfügen wir über die willkürlichen 

 Constanten von cp(w,m — i) so, dass q> sich in 



if. (w, m - 1) = sin st (w - Q k+1 ) ■ ■ ■ sin st (,r - qJ y (te, k - l) 



verwandelt, d. h. so, dass der in (143) unter dem Integralzeichen stehende 

 Ausdruck F (iv) cp (tu, m — 1) nicht mehr an den Stellen w = q k+1 , •••, g m - 

 deren entgegengesetzte AVerthe zu den übrigen Wurzelgruppen gehören - 

 unendlich werden kann. Dadurch geht das Integral (143) in das folgende über: 



(146) — . \F(w) sin st (ir - g k+l ) ...sin « („■ - Qm ) tp (w, 1; - 1) ar^dtv , 



" (Jo) 



wo F (w) durch (145) definirt ist. 



