104 Hj. Mellin. 



Der Ausdruck (p (w, k — i) enthält noch k willkürliche Constanten (A). 

 Wir behaupten nun, dass (146) das allgemeinste zur Wurzelgrafpe (— qi, ■•-, — Qi) 

 gehörige Integral der Differentialgleichung (140) darstellt. 



Die Richtigkeit dieser Behauptung ergiebt sich, wenn man das obige In- 

 tegral mit Hülfe des CAucHYschen Satzes in eine Reihe verwandelt, wobei zu- 

 gleich die Ordnungszahlen der Unendlichkeitsstellen von 



Fi ("') = F(w) sin st (w - Q k+l ) ••• sin ?r (w - qJ , 



wenigstens von einer bestimmten Stelle an, genau anzugeben sind. Die sämmt- 

 lichen Unendlichkeitsstellen dieses Ausdrucks sind nach dem Obigen als Glieder 

 in den k , von dem Integrationswege l eingeschlossenen, arithmetischen Reihen 

 enthalten : 



(147) fyiQp- 1 >-->éV- "'••• 0= 1,2,...,*) 



welche beziehungsweise den k Factoren r(w — q^, ■■■, r (w — g k ) des Zählers 

 von F(iv) als Reihen ihrer Unendlichkeitsstellen entsprechen. Da weder die 

 übrigen Factoren r des Zählers noch die des Nenners von F(ui) an diesen 

 Stellen unendlich werden, und da die trigonometrischen Factoren von F x (w) an 

 denselben von der Null verschieden sind, so ist die Ordnungszahl irgend einer 

 Stelle (147), als Unendlichkeitsstelle für F t (w) betrachtet, genau gleich der 

 Anzahl derjenigen Factoren r(w — p,), •••, r(w — q^), die an dieser Stelle 

 gleichzeitig unendlich werden, d. h. gleich der Anzahl derjenigen Reihen (147), 

 für welche die betreffende Stelle ein gemeinsames Glied ist. 



Weil die Grössen p, < q 2 < ■ ■ ■ < Q k sich höchstens um ganze Zahlen von 

 einander unterscheiden, so ist unter den Reihen (147) die Reihe 



dadurch bemerkenswerth, dass ihre sämmtlichen Glieder in jeder der übrigen 

 Reihen (147) enthalten sind, so dass also r (w — 9,), ■ • • , r (iv — q^) an jeder der 

 Stellen (148) gleichzeitig unendlich werden. An jeder Stelle (148) wird somit 

 Fi (w) genau von der k te " Ordnung unendlich gross. An den übrigen Stellen 

 (147), die nicht allen Reihen gemeinsam sind, wird F x (w) von niedrigerer als 

 der k! e " Ordnung unendlich gross. 



Mit Hülfe des CAucnyschen Satzes ergiebt sich, wenn man auch die For- 

 mel (138) beachtet, dass das Integral (146) gleich einer Reihe ist, wo die sämmt- 

 lichen, zu den Stellen (147) gehörigen Residuen des unter dem Integralzeichen 

 stehenden Ausdrucks i^ (w) y(tv,k — i) x~'" als Glieder vorkommen. Es erübrigt 

 uns, die Form dieser Residuen auf Grund der obigen Erörterungen anzugeben. 



