Gamma- /uni hypergeometrische funciionen. iOo 



Offenbar hat man 



zr- u ' = x-*i +v 



! _ v _^LZ > log ,; + — —-- (log x) , 



*r ä"" 



F, («■) y (w, * - 1) = -f— — k +■■■+ ; + <P (u> - ?1 + v) , 



wo ^5 eine gewöhnliche Potenzreihe bezeichnet. Ertheilt man den willkürlichen 

 Constanten A von <y solche Werthe, dass ip an der Stelle iv = q u und somit 

 auch an allen übrigen Stellen (147), von der Null verschieden ist, so ist auch 

 K^ (v = o , 1 , ■ • • , go ) nach dem oben Dargelegten thatsächlich von der Null 

 verschieden. Das zur Stelle w = ^ — v gehörige Residuum hat also die Form 



R„ = x-^+ v 



Kl -ry lOg X + • • • + (- 1) jj— - (log X) 



und enthält bei unbestimmten Werthen der Constanten A den Logarithmus 

 thatsächlich in der (k — 1)'"' Potenz. Die zu den übrigen, nicht allen Reihen 

 (147) gemeinsamen, Unendlichkeitsstellen gehörigen Residuen, welche durch S r 

 bezeichnet werden mögen, enthalten dagegen höchstens die (k — 2)" Potenz von 

 log*. 



Für das Integral (146) ergiebt sich also eine Reihenentwickelung: 



w T ,(i>) 



(149) 2j & '* + x ' 9i Z r 1 fr log x + • ■ • + (_ 1)4_1 jT-i (log x) 



V 



X 



welche bei unbestimmten Werthen der Constanten A die (Je — i)' e Potenz von 

 log x wirklich enthält. 



Die Richtigkeit unserer Behauptung, dass (146) das allgemeinste zur Wur- 

 zelgruppe (— Qi, ■■■ , — Q k ) gehörige Integral der Differentialgleichung (140) dar- 

 stellt, wird offenbar erwiesen, wenn wir zeigen, dass man durch geeignete Ver- 

 fügung über die Constanten A bewirken kann, dass die obige Reihenentwickelung 

 unseres Integrals (146) sich successive in Reihen verwandelt, worin die höchste 

 thatsächlich enthaltene Potenz von log x beziehungsweise die (k — 2)'% (k — 3)'", 

 • ■■, bis 0" ist. Denn zwischen solchen Reihen, deren Anzahl hier gleich k 

 ist, wenn die ursprüngliche Reihe (149) mit gerechnet wird, kann bekanntlich 

 keine lineare Gleichung bestehen. 



Verfügen wir in der That über die Constanten A so, dass cp (w, k — l) 

 sich in sin jr («» — Oj) q. («',/<• — 2) verwandelt, so wird der nunmehr unter dem 



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