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Integralzeichen (an Stelle von F x (w) ) stehende Factor F x (w) sin it (w — Qi) an 

 den Stellen (148) genan von der (k — \f m Ordnung — an den übrigen, allen 

 Reihen (147) nicht gemeinsamen Stellen aber von niedrigerer als der (k — 1)'"' 

 Ordnung — unendlich gross. Hieraus folgt offenbar, wie oben, dass das 

 Integral 



^ Cf, (w) sin x (w - ?1 ) <f (w, k—2) ar^dw 



U) 



in eine Reihe entwickelbar ist, welche der Form nach sich von der Reihe (149) 

 nur dadurch unterscheidet, dass statt k die Zahl Ä- — 1 vorkommt, und welche 

 den Logarithmus thatsächlich in der (k - 2)'™ Potenz enthält, wofern die k — 1 

 Constanten A in q (w , k — 2) als willkürliche Grössen betrachtet werden. Fährt 

 man auf diese Weise fort, so erhält man schliesslich für das Integral 



~- f-Pi ("') sin* -1 « (w - ?,) <p (w, o)x-"<hr , 



U) 



wo y (w , o) eine willkürliche Constante bedeutet, eine Reihe der Form 



K m x\ 



rtj 



v = o 



wo die K von der Null verschieden sind. Hiermit ist die Richtigkeit der frag- 

 lichen Behauptung erwiesen. 



Erinnern wir uns, in welcher Weise das Integral (146) aus dem allgemei- 

 neren Integrale (143) hervorging, so ist hiermit zugleich bewiesen, dass der 

 Integralausdruck (143) das allgemeinste, zu einer beliebigen Wurzelgruppe der 

 determinirenden Fundamentalgleichung f (q) = o gehörige Integral der Differen- 

 tialgleichung (140) umfasst, woraus weiter folgt, dass (143) unter den am An- 

 fang dieses § angegebenen Voraussetzungen das allgemeine Integral derselben 

 Differentialgleichung repräsentirt, und zwar in der ganzen x-Ebene oder nur 

 in dem durch | x | ^ 1 definirten Gebiete, je nachdem m > n oder m = n ist. 



Im Falle m = n besitzen wir also zunächst nur in der Umgebung | x | <[ 1 



Fig. 2. 

 ^1 



„J 



der Stelle x = eine Darstellung für das allgemeine Integral unserer Differen- 



