Gamma- und hypergeometrische Functionen. 109 



in der Umgebung x > i der Stelle x = co das allgemeine Integral derselben 

 Gleichung, wofern l eine die sämmtlichen Stellen (153) einsehliessende Linie ist, 

 deren sur imaginären Axe paralleler TJicil dem Streifen («<«<« + 1) angehört. 



Die im Abschnitte II ausführlich erörterten, besonders ausgezeichneten 

 Integrale <l)(.c;c), a < c < « + 1 , der Differentialgleichung (140) müssen somit 

 auch durch die Integrale (155), (156) darstellbar sein. In der That sind in den 

 Ausdrücken (155), (156) gewisse Integrale enthalten, die dadurch bemerkens- 

 wert]! sind, dass die zur reellen Axe parallelen Theile ihrer Integrationswege 

 derart gedreht werden können, dass dieselben der imaginären Axe parallel 

 werden, ohne dass die betreffenden Integrale dabei ihren Sinn verlieren oder 

 sich verändern. Offenbar gehen sie dann in die mit q> (x; c) bezeichneten In- 

 tegrale über. 



Im folgenden § wollen wir zeigen, dass die Integration solcher hypergeo- 

 metrischer Differentialgleichungen, deren Constanten die Bedingungen (154) nicht 

 erfüllen, auf den Fall, wo diese Bedingungen erfüllt sind, zurückgeführt werden 

 kann. Hierbei ist aber zu bemerken, dass die im folgenden § auseinander- 

 zusetzende Ermittelung des allgemeinen Integrals der betreffenden Differential- 

 gleichung bei weitem nicht in allen Fällen die vortheihafteste ist. Es wird 

 vielmehr in den meisten Fällen am vortheihaftesten sein, die im folgenden § 

 zu beschreibenden Transformationen auf die kleinste Zahl zu reduciren, indem 

 man in jedem Falle, wo es nur angeht, das für den vorangehenden § eigen- 

 thümliche Verfahren ebenfalls benutzt. Es handelt sich aber bei dieser (lele- 

 genheit vorzugsweise darum, die Richtigkeit unserer Behauptung im Princip 

 nachzuweisen, dass alle hypergeometrischen Differentialgleichungen mit Hülfe 

 der Gammafunction in früher angegebenem Sinne vollständig integrirt werden 

 können. 



36. 



Multiplicirt man den Ausdruck 



(157) a 00 = r(io - ?1 )-- • r(,c - o m ) 1(1 +a,- w) ■ ■ ■ r(i + e„ - „•) 



mit w — o 1? so nimmt der Parameter o t infolge (w — ç x ) r(w — Q j ) — r{w — () 1 + 1) 

 um Eins ab. Wird G (w) dagegen mit 1 + 6 l — w multiplicirt, so nimmt der 

 Parameter (îj um Eins zu. Hieraus folgt offenbar, dass jeder Ausdruck der 

 Form G («) durch Multiplication mit einer passenden ganzen rationalen Func- 

 tion stets so transformât werden kann, dass die Constanten q und 0' des neuen 

 Ausdrucks die Bedingungen 



