110 Hj. Mellin. 



, . . , Au = l 2 , • • . , m 



Q (l <a<& v 



erfüllen, wo c. eine reelle Zahl bedeutet. 



Eine entsprechende Transformation kann mit der Differentialgleichung 



(158) (»! + ji).»(.^ +e-)y = ±(*s + *i)-(*s + «.)** 



vorgenommen werden. Fügt man nämlich auf beiden Seiten den symbolischen 

 Factor (x tt+ pi— i) hinzu, wendet auf der rechten Seite die evidente Formel 



an und setzt auf beiden Seiten 



d 



(x — 

 \ dx 



so bekommt man die Gleichung 



1 Tx + Qi - l ) [ x Tx + ^) ■ ■ ■ (* ë + H * = + r cte + ffi j • • • (* s + ^j" • 



Bei Hinzufügung des symbolischen Factors ( x -=- + ç t — i J und der gleichzei- 

 tigen Substitution U -=- + qA y = a erleidet also die Differentialgleichung (158) 



genau dieselbe Veränderung, wie der Ausdruck G (w) bei Multiplication mit 

 w — q u d. h. der Parameter yi nimmt in der Differentialgleichung, wie im 

 Ausdrucke, um Eins ab, während die übrigen Parameter unverändert bleiben. 

 In ähnlicher Weise ergiebt sich, dass die Differentialgleichung (158), wenn auf 



beiden Seiten der symbolische Factor ( x y- ; + a Y + 1 j hinzugefügt und die Sub- 

 stitution (x-j- -ftf 1 + i)y = « bewerkstelligt wird, sich genau so verändert, wie 



dx ' " l ' V y ~~ " ö 



der Ausdruck G (w) bei Multiplication mit \ + 6 1 — w. Der Parameter o" x 



nimmt in der Gleichung, wie im Ausdrucke, um Eins zu. 



Offenbar folgt aus dem Obigen, dass der Differentialausdruck D (x^-)y = z, 



wofern I) (q) eine passend gewählte ganze rationale Function von q, und y 

 ein beliebiges Integral der Differentialgleichung (158) bezeichnet, ebenfalls einer 

 Differentialgleichung derselben Ordnung Genüge leistet: 



