Gamma- ion/ hypergeometrische Functionen. 111 



(159) (*s + *);"('5 + »-)* sa± (*S + fl i) ' 



deren Constanten aber die Bedingungen 



i/r 



(«6o) ^<«<^ U-i 2 



erfüllen und sich höchstens um ganze Zahlen von den entsprechenden Constan- 

 ten der Gleichung (158) unterscheiden, und zwar so, dass die Differenzen 



in > G v - G v 



/(*= 1,2,.-., »h\ 

 \v = l,2,...,n) 



gleich positiven ganzen Zahlen oder Null sind. 



Bei der Transformation der Differentialgleichung (158) in die Gleichung 

 (159) wollen wir der Einfachheit halber die Grössen q unverändert lassen, wäh- 

 rend die Grössen 0, alle oder einige derselben, um positive ganze Zahlen ver- 

 grössert werden, wodurch sie in die resp. Grössen e' übergehen. 



Da die Constanten der Differentialgleichung (159) die Bedingungen (160) 

 erfüllen, so kann das allgemeine Integral derselben nach dem vorigen § in der 

 Form dargestellt werden: 



(161) z = -i-i f G' (w) <p (w, X) x-»äw , 



2,3t l 1 



CS 



M 



wo 



er („•) = r( w - Ql )- -r<w - Qm ) f(i + a\ - >,) . . . r(i + < - «,) 



ist und / ie nach den Umständen eine Linie l oder eine Linie l bedeutet, 



J -oo -t-ao 



deren Lage in demselben § näher angegeben wurde. Es ist vorteilhaft, sich 

 die Zahl X grösser als m — 1 vorzustellen, damit <j> , ausser den erforderlichen 

 m Integrationsconstanten, noch andere enthalte, über welche in besonderen 

 Fällen je nach den Umständen verfügt werden kann. 



Das allgemeine Integral der Differentialgleichung (158) findet sich nun 

 offenbar unter den Lösungen y der Gleichung 



(162) *>(*£)» = *. 



wo s das allgemeine Integral (161) bedeutet. Die allgemeinste Lösung dieser 

 Gleichung lässt sich, weil wir für z den geschlossenen Ausdruck (161) besitzen, 

 ohne Schwierigkeit ebenfalls in geschlossener Form darstellen. 



