Gamma- und hypergeometrische Functionen. 113 



wo die C Integrationsconstanten bezeichnen. Nun enthält aber G' (w) den Factor 

 /'(i + «i - «') = r(i + a 1 + Pi - w) = (i + ffj - w) . . . ( Vl + «y, - «•) r(i + ff, - w) . 

 Es ist also 



Pi- 1 



(') 



I/=0 



wo GJ (w) sich von G («;) höchstens dadurch unterscheidet, dass die Constanten 

 öö , • • ■ , d', des ersteren Ausdrucks um positive ganze Zahlen die entsprechenden 

 des letzteren übertreffen können. 



Ist nun weiter o' 2 = 6 2 +p 2 , so enthält die linke Seite der letzten Gleichung 



die symbolischen Factoren (x -=- + ff 2 + i) , • • • , [x . + o 2 + lh) ■ Werden diese 

 vermittelst der oben angewandten Operationen aus der Gleichung weggeschafft, 

 so folgt: 



D 2 (x Jh y = ^-. TG; (w) <p (w, k) x—chr + x-°*-P* f as*-»i-l»i Y G v x v dx Pl , 



o 



v = 



wo G 2 sich nunmehr von G höchstens dadurch unterscheidet, dass die Constan- 

 ten ö 3 , • • • , 6„ des ersteren Ausdrucks um positive ganze Zahlen die entsprechen- 

 den des letzteren übertreffen können. Die p 2 im zweiten Theile der rechten 

 Seite bezeichneten Integrationen können explicite ausgefühlt werden. Der un- 

 günstigste Fall tritt hierbei ein, falls 6, — 6, eine ganze Zahl ist, weil alsdann 

 der Logarithmus auftreten kann. Aber auch dann kann offenbar der fragliche 

 Theil durch Potenzen von x und loga; explicite ausgedrückt werden. 



Fährt man auf diese Weise fort, so erhält man schliesslich für die all- 

 gemeinste Lösung der Gleichung (162) den Ausdruck 



(164) y = - - 1 -. CG 0) y (10 , X) x-" äw + B (x , log x) , 



P) 



wo G durch (157) definirt ist und R eine in Bezug auf log;« ganze rationale 

 Function bezeichnet, deren Coefficienten Potenzen von x in endlicher Anzahl 

 enthalten. 



In dem Ausdrucke (164) muss nach dem Obigen auch das allgemeine In- 

 tegral der Differentialgleichung (158) enthalten sein. Es entsteht also die 

 Frage, welche Beziehungen zwischen den unbestimmten Constanten der beiden 

 Ausdrücke (p und R stattfinden müssen, damit (164) in das allgemeine Integral 



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