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der Differentialgleichung f ix —) V = ± 9 (•*' 7") •'' V übergehen soll. Wir beschrän- 

 ken uns hier auf die folgenden Andeutungen. 



Das auf der rechten Seite von (164) vorkommende Integral heisse ®(x;l). 

 Versteht man unter a> (x; l +1 ) dasjenige Integral, welches entsteht, falls der 

 Integrationsweg von </> (x; l) um die Strecke Eins in der positiven Richtung 

 der reellen Axe verschoben wird, so ist 



O (x ; l +l ) = O (■< ; + S (x, log x) , 



wo S die Summe derjenigen Residuen von G (w) cp (iv , X) x~ w bezeichnet, die 

 zu den zwischen den Linien l und l + liegenden Unendlichkeitsstellen dessel- 

 ben Ausdrucks gehören. Der Ausdruck S ist, wie B (x , log x), in Bezug auf 

 log./; eine ganze rationale Function, deren Coefficienten Potenzen von x in 

 endlicher Anzahl enthalten (§ 34). Bezeichnen wir die Integrationsvariable in 

 (H (x; l +1 ) mit iv und setzen w' = w + 1 , so haben wir 





Durch dieselben Rechnungen, wie sie in § 14 gelegentlich der Differential- 

 gleichung (75) angestellt wurden, ergiebt sich auch jetzt die Gleichung 



Macht man von den vorangehenden Gleichungen Gebrauch, so folgt: 



Soll also y die Differentialgleichung f (x -Ay = ±g(x-~\x y befriedigen, so ist 



hierfür nothwendig und hinreichend, dass zwischen den Constanten der Ausdrücke 

 B und S {resp. q>) solche Beziehungen bestehen, dass 



f[*l) B = ±*{4xh B -V 



zu einer Identität tvird. 



Das Schlussergebniss dieses Abschnittes ist also, dass jede hypergeometri- 

 sche Differentialgleichung (158) mit Hülfe der Gammafunction derart vollstän- 

 dig integrirt iverden hann, dass ihr allgemeines Integral sich in der Form 



