SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. 



Le théorème fondamental relatif à la représentation conforme de deux 

 aires planes à connexion simple l'une sur l'autre est dû, comme on sait, à 

 Riejiann. Quant aux applications, on ne connaît la solution du problème que 

 pour quelques cas simples, qui dérivent directement de l'étude de fonctions 

 particulières, et pour le cas bien important traité par M. Schwarz, où les aires 

 planes sont limitées par des arcs de cercles ou des lignes droites. Les recher- 

 ches de M. Schwarz ont donné lieu à un grand nombre d'applications à des 

 cas particuliers, qui jouent un rôle important dans la physique mathématique 

 et pour l'étude des surfaces minima. 



La fonction qui donne la représentation conforme d'une aire plane S à 

 connexion simple et dont le contour est formé par des arcs de cercles (ou des 

 lignes droites), sur un demi-plan ou sur l'intérieur d'un cercle, dépend essen- 

 tiellement de la forme des éléments au voisinage des sommets du contour de 

 S. On possède aussi des exemples, où les angles à ces sommets peuvent 

 prendre la valeur zéro. Ainsi, le cas d'un triangle à trois angles nuls, formé 

 par trois arcs de cercles tangents deux à deux, conduit à une équation diffé- 

 rentielle connue, de Legendre. Le cas où les arcs de cercles en restant tan- 

 gents deux à deux forment, dans l'intérieur de S, des angles multiples de jt, 

 a été, il nous semble, trop peu observé. La présente étude a pour but de 

 combler en partie cette lacune en donnant des exemples de représentations 

 conformes présentant cette espèce de singularité du contour. Dans le dernier 

 de ces exemples, on est conduit à l'étude de quelques équations différentielles 

 linéaires du second ordre. 



1. Soit s la variable complexe qui est représentée géométriquement par 

 un point du plan de l'aire S, t^p + iq la variable complexe dans le plan de 



