4 Hj. Tallqvist. 



T, région au-dessus de l'axe des p; a et z deux variables complexes auxiliai- 

 res. Considérons avec M. Schwarz l ) la fonction 



(i) a = a(z) = z-> (i + z^(z)} + B„ In s , 



où m désigne un nombre entier positif ou nul, B,„ une. constante réelle, et $ (z) 

 une série suivant les puissances positives, entières et croissantes de s, conver- 

 gente aux environs de z = o et à coefficients réels. Formons une équation dif- 

 férentielle 



/ \ ( (P , ds l ( d , ds\ z l — m 2 , a , , _, . 



(2) M = ^^- 2 U^J=^ + 7 + « 1 + «- + -- +a^ + ..=F(z), 



où les coefficients a du membre droit sont réels et où la série di-^- a. 2 s + ■ ■ 

 + a n z n ~ 1 +-- converge dans un cercle autour de z = o. On pourra alors déter- 

 miner le nombre B m et les coefficients de la série ¥>(z) de (i) de manière que 

 la fonction 6 satisfasse à l'équation différentielle (2). Seul le coefficient de z'"~ l 

 en f(z) reste indéterminé. On consultera pour plus de détails le mémoire cité 

 de M. Schwarz. 



Dans le cas m—o, le point 2 = sera toujours un point singulier essen- 

 tiel de la fonction ö . Si m est un entier positif, z = o pourra être un pôle ; 

 il faut pour cela qu'un certain déterminant D, formé par les coefficients a, 

 s'annule identiquement (Schwarz 1. c). 



Si nous prenons maintenant 



s — ff- 1 et z — t 



s = s(t) sera l'élément valable, dans le voisinage de £ = 0, d'une fonction qui 

 représente d'une manière conforme le demi-plan T sur une aire 5. Au point 

 t = o correspond le sommet s = o du contour de <S, formé par deux arcs de 

 cercles qui se touchent et comprennent un angle ma dans l'intérieur de S. 

 Si m>2, le point s = o est en même temps un point de ramification de l'aire 

 S. Dans le cas particulier où le déterminant D est nul, les deux arcs de 

 cercles qui se touchent ont aussi leurs centres communs. 



La fonction s satisfait, ainsi que la fonction o, à l'équation différentielle 

 (2). L'intégrale générale de cette équation a la forme 



. _ A a + 11 



(3) s- <7tf + D' 



') Zur Theorie der GAUSsischen hypergeometrischen Reihe. Journal für reine und angewandte 

 Mathematik, Band 75, ou Gesammelte mathematische Abhandlungen, Band II, pag. 228. 



