Représentation conforme des aires planes. 5 



où A. T! . C et D sont des constantes complexes, et correspond à une aire S 

 obtenue par la transformation circulaire de l'aire S considérée. De même on 

 obtient par une transformation 



(4) t = a *- +h 

 w cz + d' 



à coefficients réels, la représentation du demi-plan T sur lui-même. 



L'intégrale particulière 6 = 6 (t) donne la représentation conforme du demi- 

 plan T sur une aire ^ , dans laquelle correspondent, au point t = o un point 

 à l'infini, et aux portions de l'axe des p qui se rencontrent en t = o, deux 

 droites parallèles dont la distance est B m n. Pour m>2 le point de l'infini 

 est, pour l'aire 2, un point de ramification. 



= 6(2) satisfait à l'équation différentielle du second ordre 



(5) £(a) = ^lng = -i±? + &o + M + " + *.*" + ". 



Pour passer à l'aire J la plus générale de la forme indiquée, il faut prendre 

 l'intégrale générale aö + ß de cette équation. 



Ecrivons encore les développements de 6 et des dérivées E(z) et{s,z) de 

 M. Schwarz, en admettant que le point singulier de corresponde au point de 

 l'infini du contour de T. On a pour 2 = ^ 



(6) m = ^l + ^), 



^1 » ^2 ) ^3 désignant les symboles des séries ordonnées suivant les puissan- 

 ces positives, entières et croissantes de J , dont les coefficients sont réels. 

 2. Considérons comme première application la fonction simple 



(7) ff = \ + In t, 



où l'on prend pour t réel et positif, la valeur réelle du logarithme. Cette 

 fonction donnera la représentation conforme de la région supérieure T du plan 

 des t (Fig. 1) sur une aire S, limitée par une parallèle à l'axe réel et par 

 les deux bords d'une coupure s'étendant le long de cet axe, du point 1 jusqu'à 

 l'infini (Fig. 2). Les angles aux sommets de S, correspondant aux points o, 



