6 Hj. Tallqvist. 



i et go sur le contour de T, ont les grandeurs respectives a, 2 n et . L'angle 

 2jr seul se trouve dans la partie finie du plan; l'angle n est l'angle le plus 

 remarquable. La distance entre la coupure et la droite illimitée du contour de 

 ^ est égale à n. Nous avons construit, dans l'aire S, deux familles de cour- 

 bes isothermes correspondant aux demi-cercles de T autour du point o, et à 

 leurs rayons. Les deux systèmes de courbes isothermes sont choisis de façon 

 à se laisser représenter d'une manière conforme sur deux séries de droites di- 

 visant le plan en carrés. Les courbes de la figure 2 sont transcendantes; on 

 observera particulièrement la courbe faisant partie d'une cycloïde correspondant 

 au demi-cercle du rayon 1 de T, et la courbe exponentielle, transformée de 

 l'axe des q en T. 



On passe, par la transformation circulaire (3) de l'aire S, à l'intérieur 

 (ou l'extérieur) S d'un cercle présentant une coupure circulaire, tangente à ce 

 cercle, et dont les angles sont aussi jt , 2 a et o (Fig. 3). Le réseau isotherme 

 de S contient deux courbes qui sont les transformées par l'inversion de la 

 cycloïde et de la courbe exponentielle. 



La représentation conforme d'un demi-plan T limité par l'axe des j), sur 

 un demi-plan ^ plus général avec une coupure rectiligne parallèle à la droite 

 illimitée du contour, s'obtient par la fonction 



(7 = 6'! + C } + G, In z , 

 ° Ü _at±l 



ses coefficients réels et où le quotient C 2 : C 3 est aussi réel. 

 3. Prenons à présent les fonctions 



(8) a = £ + 2 In t 



et (9) tf = - £ + 2 In t . 



Si nous introduisons une nouvelle variable r en posant 



i 2 = r, 



l'équation (H) devient 



a — — h In t 



T 



et nous sommes, par suite, ramenés au cas que nous venons d'étudier. Il s'en- 

 suit que la fonction (8) donne la représentation conforme d'un_ quart de plan, 



