Representation conforme des aires planes. 7 



région des coordonnées p et q positives, sur le demi-plan J a de la figure 2. 

 Le demi-plan T supérieur est représenté lui-même sur une aire S, formée par 

 5] et sa région symétrique 2 S par rapport à la droite illimitée du contour, 

 c. à. d. sur un plan entier présentant deux coupures rectilignes parallèles 

 (Fig. 4) '). Au voisinage du point t = o de T correspond l'élément singulier 

 à l'infini de 2% limité par deux droites parallèles et présentant un angle 2jr 

 dans son intérieur. 



Au moyen d'une fonction plus générale 



(lO) 



, = U + î + Mn*+er 



on représente le même demi-plan T d'une manière conforme, sur uue aire 2 

 quelconque formée par un plan entier avec deux coupures rectilignes, qui s'éten- 

 dent du même coté vers l'infini, a et b sont ici des constantes réelles et b est 

 positif. Les deux points singuliers non essentiels du contour de T, lesquels 

 correspondent aux bouts des coupures de 2, se déterminent par l'équation du 



second degré 



La fonction (9) 



1 da 2a,, 



a = - p + 2 In t 



donne la représentation conforme du demi-plan T au-dessus de l'axe réel sur 

 une aire 2, qui se compose d'une aire 2x de la même espèce que dans la 

 figure 2 et de son aire symétrique 2 2 par rapport à la droite le long de la- 

 quelle s'étend la coupure. Le contour de 2 est donc formé par deux droites 

 parallèles illimitées, la bande entre ces deux droites étant doublement couverte. 

 Cette bande a la largueur 2 % ; le point de ramification correspond à l'argument 

 t = i, et le sommet de l'angle 2jr à l'infini, à la valeur o de t, comme dans 

 les cas précédents (Fig. 5). 



Une représentation plus générale d'une aire 2 de la même espèce est 

 donnée par la fonction 



(11) 



c{-± + l + b^+c- 



>a 



l ) J'ai trouvé plus tard cette figure chez M. P. Bennecke: Untersuchung der stationären 

 elektrischen Strömung in einer unendlichen Ebene für den Fall, dass die Zuleitung der beiden 

 verschiedenen Elektriciteten in zwei parallelen geradlinigen Strecken erfolgt. Inaugural-Disser- 

 tation. Berlin 1886. Les aires que considère M. Bennecke, sont construites dans un plan simple, 

 mais à connexion double et représentées sur un anneau circulaire par une fonction bien générale. 

 On trouve dans le même mémoire un grand nombre d'applications intéressantes. 



