8 Hj. Tallqvist. 



où les constantes doivent satisfaire aux mêmes conditions que dans la for- 

 mule (10). 



On pourrait continuer de cette manière, en examinant par exemple l'aire 

 2, à laquelle conduit la fonction 



ff = i + 31n<. 



Cette aire s'obtient par deux répétitions symétriques de l'aire de la figure 2 et 

 contient un angle 3^ à l'infini etc. Cependant, au lieu de pousser plus loin 

 ces études directes, nous passerons maintenant au cas inverse, où l'aire ^ ou S 

 est donnée. Il s'agit alors de chercher la fonction qui réalise la représentation 

 conforme de cette aire sur un demi -plan. 



4. Soit d'abord une aire S formée par le plan entier où l'on a tracé 

 deux coupures rectilignes, parallèles et de directions opposées. Notre aire ^ 

 contient alors deux angles n à l'infini, correspondant aux points singuliers 

 essentiels de la fonction cherchée, et deux angles 2n à distance finie, pour 

 lesquels la fonction doit présenter des singularités non essentielles. Pour trou- 

 ver cette fonction ô(t), qui représentera l'aire 2 d'une manière conforme sur 

 un demi-plan T (Fig. 6), on forme d'abord la dérivée E(i) de M. Schwarz. 

 En faisant correspondre aux points t = o et t=cc, de T, les points de l'in- 

 fini du contour de 2 , et aux points t = « et t = ß, où « > o et ß < o , les som- 

 mets de 2 qui se trouvent à distance finie, on aura pour la fonction ration- 

 nelle E(t) l'expression 



eya_ d i n dtf _ l . l 2 



On tire de là en intégrant 



& j 



(12) <r= C {*-(« + # h» <-y! + C'. 



Prenons par exemple 



— C(a + ß) = 1, aß = — l, G" = o 



« 2 + l 

 et to" = *Z-[> 



d'où « = 33191 , ß = -0.30129 



et <f = In t -0.33137 (/ + J 



Alors les deux coupures de S seront la partie négative de l'axe réel et 

 une parallèle à cet axe qui en est distante de a, et qui aboutit à l'axe ima- 



