Représentation conforme des aires planes. 9 



ginaire. La division isotherme de faire 2, que nous avons effectuée dans la 

 lig. 7 par les deux familles de courbes correspondant aux rayons et demi- 

 cercles de T, est facilitée par ce l'ait que cette ligure admet le point 6 = ^in 

 comme centre. 



En transformant l'aire 2 par une inversion dont le centre est situé hors 

 des coupures rectilignes, on obtient un plan simple S avec une coupure formée 

 par deux arcs de cercles, qui se touchent au point singulier essentiel (Fig. 8). 

 Le centre de 2 étant choisi pour centre de l'inversion, l'aire S aura aussi un 

 centre (Fig. 9). 



5. Considérons à présent une surface 2 de Eiemann formée par deux feuilles 

 qui ont pour contour deux droites parallèles et qui sont réunies entre elles 

 suivant une ligne droite, aboutissant à un point de ramification dans l'intérieur 

 de ^ (Fig. 10). L'aire 2 contient alors deux éléments à côtés parallèles et 

 formant un angle jt à l'infini. Si nous faisons correspondre à ces points les 

 valeurs — i et + i sur le contour d'un demi-plan T (Fig. 1) et au point de 

 ramification, l'argument t=ia, nous obtenons un arrangement symétrique de la 

 figure .2 par rapport à une normale aux droites du contour, que nous prendrons 

 pour axe imaginaire. 



D'après ce qui précède, E(t) aura la forme 



„. . d da ii 2 2 



E ® = T>1Ü = 71=77.+ 



dt dt t — ia t + ia t—\ t+i 



_ 2t 4t 



~ t 2 + a 2 _ t 2 — l ' 



L'intégration donne 



(13) «r = C \(a 2 + O ™ + (« 2 - i)ln ~} 



la constante additive étant déterminée de manière que les zéros des deux plans 

 se correspondent. Il faut prendre pour o<t<i la valeur réelle du logarithme. 

 Nous supposons C réel et positif; la distance mutuelle des deux droites du 

 contour de 2 est alors 



b= C la 2 - i|«, 



et la distance d du point de ramification à l'axe réel 



d-lG a + (a 2 — i) arctg« | . 



Les familles de courbes isothermes de la fig. 10, images des rayons et 

 demi-cercles concentriques de T, correspondent aux valeurs numériques 



