10 Hj. Tallqvist. 



b = sr , d — 3 st , 



a = 1.13779 et C = 3-3949 • 



La figure 11 montre la surface S de Riemann, obtenue de l'aire 2 par la 

 transformation circulaire. Le contour est formé par deux cercles qui se tou- 

 chent au point singulier. Le centre de l'inversion a été choisi de manière que 

 le point de ramification coïncide avec le centre du plus petit cercle, dont le 

 rayon est la moitié du rayon du plus grand cercle. 



0. Désignons par 2 1 une aire à connexion simple que l'on a construite 

 dans un plan simple de l'une des trois manières suivantes: 1) on mène un 

 nombre fini de coupures rectilignes et parallèles et on les réunit à l'infini à un 

 seul contour, 2) on trace une droite illimitée et l'on mène dans l'un des demi- 

 plans ainsi obtenus un nombre fini de coupures rectilignes et parallèles à la 

 droite et l'on construit un contour simple ou 3) on trace deux droites parallèles 

 et l'on construit dans la bande obtenue un nombre fini de coupures rectilignes 

 et parallèles à ces droites, et l'on réunit ensuite à l'infini les droites et les 

 bords des coupures à un contour simple. Ces aires 2' pourront présenter, à 

 l'infini des angles o , % ou 2 n , à côtés parallèles et, dans la partie finie du 

 plan, des angles 1% à côtés coïncidants. On représente une aire 2' d'une ma- 

 nière conforme sur le demi-plan supérieur Z', région d'une variable z, par une 

 fonction de la forme 



(14) * = C fa (*) + ^ C < ln - *)} + C' . 



Ici Ri (s) désigne une fonction rationnelle à coefficients réels, les C t et les g t 



sont des constantes réelles, C et C des constantes complexes. La formule 



(14) découle immédiatement du fait que la dérivée E (z) est une fonction ra- 

 tionnelle de z de la forme 



*w =ZÄ 



les «, désignant des nombres entiers. 



En effectuant maintenant un nombre fini de répétitions symétriques de 2 1 

 par rapport aux coupures ou aux droites du contour, on est conduit à une sur- 

 face 2' de Riemann à connexion simple, située dans le plan des 6, et dont le 

 contour est formé par des droites illimitées parallèles et par des coupures rec- 

 tilignes parallèles à ces droites. Cette aire peut contenir des points de rami- 

 fication dans son intérieur et sur le contour. Par la répétition correspondante 

 de l'aire Z', on obtient une autre surface Z de Riemann à connexion simple, 



