Représentation conforme des aires planes. 1 1 



composée d'un certain nombre de demi-plans, et dont le contour se trouve en- 

 tièrement sur l'axe réel. 



Le problème de la représentation conforme de la surface 2 considérée sur 

 un demi-plan T, est donc ramené à la représentation de Z sur T. Soit t la 

 variable complexe du plan de T. La fonction s de t, qui représente Taire 

 Z sur l'aire T sera alors, comme on sait, rationnelle en t, c. à. d. qu'on aura 



05) e = dt(t), 



en notant par 3î une fonction rationnelle donnant des valeurs réelles de la 

 fonction pour des valeurs réelles de l'argument. On connaît une foule d'exem- 

 ples de représentations conformes de cette espèce J ). Pour trouver enfin la 

 fonction ö de l'argument t qui donnera la représentation de 2 sur le demi-plan 

 T, on substitue l'expression (15) de z dans la formule (14), ce qui ne change 

 pas la forme générale de 0. un obtient 



(16) 0= cißW+YAihiit-td 1 , + C. 



La même forme de fonction convient encore dans le cas plus général, où 

 l'aire ^ est une surface de Riemann à plusieurs feuilles, mais à connexion 

 simple, dont le contour est formé par des lignes droites parallèles et par des 

 coupures rectilignes parallèles à ces droites, et qui contient, dans son intérieur 

 ou sur le contour, des points de ramification arbitraires. 



Pour former effectivement la fonction a = 6(t) correspondant à une aire 

 ^" donnée on aura avantage, dans un grand nombre de cas, d'étudier directe- 

 ment cette fonction dont on connaît d'avance la forme. Prenons un exemple. 



Considérons une aire 2" (Fig. 12), dont le contour consiste en une droite 

 et deux coupures rectilignes, parallèles à cette droite et de directions opposées, 

 et effectuons une répétition symétrique de cette aire par rapport à la coupure 

 qui aboutit au point (H) de la figure 12. Nous obtiendrons de cette ma- 

 nière une aire 2 à deux feuilles (Fig. 13), dont il s'agit de trouver la repré- 

 sentation conforme sur un demi-plan T. Cette aire 2 est limitée par deux 

 droites parallèles situées dans des feuilles différentes et à la distance 'in l'une 

 de l'autre, et par les bords de deux coupures le long de ces droites, mais dans 



1 Voir: E. R. Neovius: Ueber einige durch rationale Functionen vermittelte conforme Ali 

 bildungen. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. T. XVII. 



E. E. Neovius: Ueber Minimalflächenstücke deren Begrenzung von drei geradlinigen Theilerj 

 gebildet word. I. Acta Soc. Scient. Fenn. T. XVI, et II. Acta Soc. Scient. Fenn. T. XIX. 



Einar Stenius: Ueber Minimalflächenstücke, deren Begrenzung von zwei Geraden und einer 

 Ebene gebildet wird. Dissertation inaug. Helsingfors 1892. 



