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l'autre feuille. Choisissons Tune des droites pour axe des o réels et faisons 

 aboutir les coupures sur l'axe des 6 purement imaginaires. Les deux feuilles 

 de la surface de Riemann couvrent doublement la bande formée par les deux 

 droites du contour, et sont réunies entre elles aux points 6 — in et 6 = go , qui 

 sont des points de ramification du premier ordre. Le contour a pour sommets : 

 les points où aboutissent les coupures et où, par suite, la fonction doit présen- 

 ter des singularités non essentielles; les points (D), (G) et (_E), qui appartien- 

 nent à des éléments situés à l'infini comprennant l'angle o, et enfin le point 

 (A), où se trouve le sommet d'un angle 2n aussi à l'infini. Dans la figure 

 1 3 nous avons marqué par un trait un contour continu qui se trouve entièrement 

 dans la partie finie des feuilles, mais qui peut s'étendre de manière à coïncider 

 avec le contour véritable. Désignons encore, pour plus de clarté, par l'index 

 1 les points de la feuille inférieure, et par l'index D les points de la feuille 

 supérieure de l'aire ^. La symétrie de ^ nous permet maintenant de cons- 

 truire un demi-plan T (Fig. 14), sur lequel nous voulons représenter S, avec 

 la correspondance suivante des points remarquables: 



D E F A B G DHU' 



t: -co, — i, -a, O, +«,+!, +*>, iß, -iß, 



(i7) tf; -»+3«>n,+«i, . 2i* 1 , + '° +2i " I 'o a + w *'. - s0+3, '*n',-ir,-ïjr. 



' , 



a et ß désignent ici deux nombres positifs qui seront calculés dans la suite. 



Pour former à présent la fonction tf, prenons dans la formule (16), L'—i 

 et C" réel, ce qui est évidemment permis ici, et cherchons d'abord les termes 

 logarithmiques, contenant resp. en facteur ln^, In (7— i) ou ln(/+i). Pour 

 trouver le coefficient de In t je fais décrue à la variable t un demi-cercle d'un 

 rayon très-petit t, du point +t au point — t, dans l'intérieur de T. lat s'ac- 

 croît alors de in , tandis que l'accroissement de la partie imaginaire de ö doit 

 être 2 in; donc 2 est le coefficient cherché. En déterminant de même les 

 autres coefficients et en faisant la somme des termes logarithmiques, celle-ci 

 deviendra 



3 ln<- a in(f-i)-2lna+i) = a iD (( _ l) * (<+l) . 

 La fonction o" a donc la forme 



tf =^)+ ai " (< -,)Wi) +c '- 



Le pas prochain sera la détermination de la fonction rationnelle Riß). A cet 

 effet nous écrivons ci-dessous les développements que doivent présenter les fonc- 



