Representation conforme des niées planes, 15 



Le problème de la représentation conforme des aires S décrites sur un demi- 

 plan T (Fig. 19), où nous pouvons prendre d'ailleurs les points o, i et oo de 

 l'axe des p comme correspondant aux sommets de S, est un cas limite du 

 problème de la représentation conforme d'un triangle quelconque dont le contour 

 est formé par trois arcs de cercles. On sait former dans ce cas général la 

 dérivée {s , t) de M. Schwarz et établir l'équation différentielle du troisième 

 ordre, dont une intégrale particulière donne la représentation conforme cher- 

 chée. L'intégration de l'équation du troisième ordre se simplifie eu égard au 

 fait connu '), qu'il est possible de donner à son intégrale générale la forme 

 d'un quotient de deux intégrales d'une équation linéaire et homogène du second 

 ordre. Dans le cas d'un triangle formé par trois arcs de cercles on est con- 

 duit à l'équation différentielle de Kummer: 



. N d 2 z , y-(a + /S+l)<(fe aß 



(101 I- — r — f- — 2 = 



K > dt*^ t(i-t) ,/t t(\-t) 



à laquelle satisfait la série hypergéométrique F (a, ß,y,t). Soient Xx, ft jt et 

 v jr les angles aux sommets de S qui correspondent aux arguments o , 00 et 1 

 resp. On aura alors 



(21) ±P = «-ß, ß = 1 e{l+X + l * + v}, 



+ v = y— a— /S, y=iqiA. 



L'équation (20) subsiste encore ainsi que les relations (21), dans les cas parti- 

 culiers que nous voulons examiner, mais on ne peut plus employer les systèmes 

 fondamentaux d'intégrales particulières aux environs des points critiques, que 

 l'on a trouvées dans le cas général, où les quantités 1 — y , y — a — p et a — ß 

 ne sont ni nulles, ni des nombres entiers. On consultera pour le cas limite, 

 où une ou plusieurs de ces quantités sont nulles ou des nombres entiers, un 

 travail de M. Ernst Lindelöf 2 ), où l'on trouvera aussi cités les travaux anté- 

 rieurs de Gtauss et de M. M. Tannert, Jordan et G-oursat sur l'équation de 

 Kummer. 



IL Revenons maintenant sur le second cas du tableau (19), et prenons, 

 en nous servant des signes supérieurs dans les relations (21), 



') H. A. Schwarz: Ueber einige Abbildungsaufgaben, Journal für reine und angewandte 

 Mathematik Bd. 70, et Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bd. II. pag. 80. 



*) Sur l'intégration de l'équation différentielle de Kummer. Acta Societatis Scientiarum 

 Fennicae. Tom. XIX. Ce mémoire contient une nouvelle série remarquable %(a,ß,y,t), dont M. 

 Lindelöf a détermine aussi la valeur pour l'argument t = i dans quelques cas, où la série est 

 convergente et où les nombres a,ß,y satisfont à des conditions particulières. 



