Beprésentation conforme des aires planes. 



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formule (a) est indépendante de ces restrictions (//). La condition y > k /3 , que 

 suppose M. LiNDELöF, n'est pas en effet nécessaire pour la convergence de 

 8f(«,0,y, l ) 1 )0U1 * ?' — « — 13 = — i. Nous donnons la démonstration de ce fait 

 ci-après au n:o 8. Dans notre cas, la quantité 



ou 



»(i) = s(f,f,3,i), 



y < a ß , est finie ; elle a la valeur ~ + 



i 



2st ' 



Le quotient de deux intégrales particulières de l'équation (23), qui repré- 

 sente d'une manière conforme l'aire S de la figure 17 sur le demi-plan T de 

 la figure 19, est le suivant 



4-X(0-3t(p(t)\nt 



s = 



-02 



"02 + 3 » » ^oi 4 X (0 + 3 0"* - 1" t<P (0 ' 



Nous savons dès à présent continuer analytiquement cette fonction. 



IV. Je résume enfin pour le quatrième cas du tableau (19), où l'aire 8 

 a trois angles 2n, quelques résultats trouvés par un de mes élèves, M. Gu- 

 stave Tegengren. M. Tegengren part de l'équation différentielle 



(24) 



d?s 1-2 1 dz 



2 = 0, 



dt 2 t(l-t)dt 4t(l-t) 

 qui correspond aux valeurs 



des paramètres de l'équation (20). 11 trouve les systèmes fondamentaux suivants 

 g 01 = t 2 (f (0 , 



!5, 



*02 = 4x(0 + - 8 -< 2 <K01n*- 



zn = (i-ty<p(i-th 



Si2 = 4x(i-0 + Tf( 1 -0 2 9 , (*-*)ln(i-0- 



où l'on a 



'00 2 





15 

 8 



+ ^<f\~ 



l -W 



□0 



