Représentation conforme des aires planes. 



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C'est le quotient 



4x(0 + Tf«M01n* 



_ g oa o 



»02 - -g* ' *i 4 X (0 + g 5 < 2 <P (0 On*- i«) 



qui donne la représentation conforme de l'aire S de la figure 18 sur le demi- 

 plan T de la figure 19. 



8. Il nous reste encore à démontrer les résultats concernant la série 

 $(a,ß,y,x) de M. Lindelöf, que nous avons énoncés pp. 18 et 21. A cet 

 effet nous ferons d'abord quelques observations sur la convergence de cette 

 série et de ses dérivées pour x = i,ct, ß et y étant supposés réels. La série 

 ?s(«,ß,y,x) est définie par la formule 



%(«,ß,Y,*)= 1 + 



(«— y + i)Qg— y+ i) 



l(2-y) 



*+■ 



( a - r +i)(a- Y + 2 )...(a-2 )(ß-y + lXß- r + i) ...(p-2) v ■ 

 1.2.3... .(y-2)(2-y)(3-y)...(-2)(-l) 



-v/i 



cc«,/».^-'^ 



iV- 



« + /S y+i 



+ 



N- 



a + ß y -M, 



«./î 1.// 



« + 0+2 y + 3 



Ö!« +■ 



«2^ + ■"•[, 



«./¥ l.y («+i)(/ï+i) 2(y + l) ; 



où l'on a désigné par r«,,rt 2 etc. les coefficients de la série hypergéométrique 

 F(u,ß, r ,x): 



aß «(,+ QW+l) 



l.y 2 1.2.y(y + l) 



et par iV la somme de la série indéfinie 



y+3 



a + ß Y+1 a + ß + 2 



a.ß " i. r t («+l)(?+l) 2(y+l) 



+ 



+ 



a + ß+2n 



Y + 2w+ 1 



(a + w)(|î + »0 (n + l)(y + M) 

 Si y=i, la série $ («, ß,y,x) aura la forme 



+ 



-C(a,ß, v )[N + 



Posons 



et K = N- 



N- 



«+l_Y+l 

 a.ß l.y 



a t a- -f 



r 



C(«,fty) = -i, 



« + /» r+i + .. . 



a.ß 



i.y 



(« +M- 



+ 2n — 2 y + 2 m — 1 \ 



(/* + »- O «(y + w-Ö/ 



