24 Hj. Tallqvist. 



Le nombre X„ se compose d'iuie suite infinie de termes de la forme 



(25)/».- 



a + ß+2i y + 2t+l _i*(Y-a-ß+l) + 2i(Y-aß) + Y(« + ß)-<xß(Y+l). 



(«+0C+0 (i+i)(r+0 («' + i)(*+ «)(*+/*)(»■+ y) 



Le terme général de la série S(«, p,y,œ) aura la forme 



^» x n = X„ a„ x" 



et les termes conserveront, poui' x réel et positif, à partir d'une certaine va- 

 leur Mj de n, le même signe. 



Pourvu que y—a — ß + i ne soit pas nul, on pourra déterminer un certain 

 nombre h , que nous prendrons > Wj , tel que 



y-cc-ß+ 1 h y-g-ß+i J c 



pour é>^. Dans cette formule, qu'on démontre par exemple en considérant 

 le développement de la fonction rationnelle 



a + ß + 2x y + 2a'+l 



(« + *)(/* + *) (x+i)(y + x) 



suivant les puissances positives et croissantes de -, h et h désignent deux 

 nombres finis et indépendants de i, qui se laissent trouver dans chaque cas 

 particulier. On en tire l'inégalité 



00 CO 00 CO 



(26) (y-a-ß+^^ + h^^X^iY-a-ß+l^ + k^l, 



qui aura lieu pour n>_i x . 

 Comme on a 



et 



00 



n 



00 



^ Zj* 8< (m-1)*' 



n 2 



il suit que la série 5 (« , ß , y , #) sera, pour x = i , convergente ou divergente, 

 suivant que les séries 



le seront. 



et 



/ i » 



