Représentation conforme des aires planes. 25 



Supposons maintenant 



Y-cc-ß<-l 



et considérons la série Y ■— . Le quotient du terme ~p par le terme pré- 

 cèdent — — - sera 

 n—\ 



(w-l) a B+1 __ (w-i)(h + «)(w+^Q _ » 3 + (a+/>-ï)n»+... 



«a„ w(«+i)(«+y) n* + (y+i)« a H — 



La différence entre les coefficients de n 1 dans le dénominateur et dans le nu- 

 mérateur étant 



y-« — /Î + 2<1 , 



on en conclut, d'après un théorème connu de Gauss 1 ), que la série S(«,|î,j', 1) 

 est dans ce cas divergente. 



Le tenue général de g (m) («, ß, y, x) étant 



» (n — 1) • ■ • («— m + r) A„ a* .*"-'" , 



on démontrerait sans peine que les dérivées sont aussi, pour x = i , divergentes. 

 En supposant maintenant dans la série %(a,ß, y, 1) 



r-«-/?>-i, 



la différence, à laquelle se rapporte le théorème de Gauss, sera 



Y -a-ß+2>l . 



Donc il suit que la série g (a, ß, y, 1) est, dans ce cas, convergente. 



Si y — a — ß en restant plus grand que — i , se trouve entre deux entiers 

 consécutifs 



r<Y-a— ß<r+l (r = - i , o, i , 2 • ■ •) 



les r+i premières dérivées de la série %{a,ß,y, x) auront, pour % = i, des 

 valeurs finies, tandis que les dérivées d'un ordre supérieur au (r + iyiènie de- 

 viendront infinies. 



Supposons à présent en particulier que y — a — ß soit égal à un entier po- 

 sitif ou nul 



y— a— ß = r (»" = 0, 1, 2..-). 



Alors la (r+i)"ième dérivée de g (« , ß , y, x) sera la première qui deviendra 

 infinie pour x = 1 . Nous démontrerons que l'ordre d'infinitude sera pour cette 



H. ? 



1 Disquisitiones générales circa seriem infinitam l-f--=-*-«-| ■ Pars prior. Art. 16. 



1. V 



