26 H.j. Tallqvist. 



dérivée le même que pour ln(i — x). A cet effet il faut considérer la série dont 

 le terme général a la forme 



A„ x"—'- 1 = (w— l) («— 2) ■ . • (« — r) a„ x"- 1 '- 1 . 



En diftérentiant r fois l'équation 



F(a,8,Y,x) V , , i 



i 



on trouve que notre série deviendra, pour x = i , infinie comme la fonction 

 F (r) (a, ß,y, x) ou, ce qui revient au même, comme la série hypergéométrique 

 F(a + r,ß + r,y + r,x). Or, cette série satisfait, sous les conditions particu- 

 lières dont il s'agit, à la relation 



y+r- (a + r)-(p + r) = o, 



d'où il suit, d'après la formule (21) du mémoire de M. Lindelof, qu'elle devient 

 pour 35=1, infinie comme la fonction ln(i— x). Notre proposition sur la série 

 $ r+l) (k , ß , y , x) en découle immédiatement. On observera la formule 



(27) lim(i-.r)S- (, - +,) («^.r,') = 0- 



x— l 



Quant aux dérivées d'ordre supérieur à r+i, on trouve sans peine, dans 

 ce cas, l'équation 



r 4- 1 r (y) 



(28) lim (1 -s)» «W> (a, ß, y , x) = + .p +r)r(g) ïfe ^ 1 ' 3 '"')' 



En prenant maintenant 



jr— «—/* = — 1 . 



nous aurons d'après la formule (25) 



_ 2i(Y-aß) + Y(« + ß)-<*ß(Y+l) 

 *- (»+l)(» + a)(» + /0(»' + y) ' 



d'où il suit, à partir d'une certaine valeur ^, et pourvu que y — aß ne soit 

 pas nul: 



2{ r -aß) h 2 fr-«ft fe 



et 



00 CO X X 



r 4 ' 



