Représentation conforme des aires planes. '21 



La série %(a,ß,y, i) se comportera donc dans ce cas comme la série y. 

 En désignant par A„ le ternie ~, on aura 



A„ + i _ n 2 .a n+ i _ w 4 + w 3 (« + |S)-| 



Å n " (n+ 1) 2 . a„ ~ n* + n» (y + 3) + • ■ • ' 



La différence entre les coefficients de m 3 dans le dénominateur et le numérateur 

 étant 



Y-a-ß + s = 2, 



on en conclut que la série g (a, ß,y, 1) aura en ce cas une valeur finie, ce 

 qui démontre notre proposition p. 21. Les dérivées deviennent infinies. 

 Supposons enfin que les conditions 



y — a — ß = — 1 et y — aß 



soient vérifiées à la fois. Les coefficients ;*, et X„ étant alors nuls, g(«, fi, y, x) 

 sera une fonction rationnelle et entière en x. 



A l'aide des considérations faites sur la convergence de la série g («>ß, y, %) 

 et de ses dérivées pour x=i et y — a — ß= un nombre entier positif r, il sera 

 aisé d'établir maintenant la formule énoncée p. 18 : 



(29) g («,0,1,1) = o 



qui est vérifiée pour k + (3 = o. On est conduit à déterminer la valeur de la 

 quantité g («,|3,i,i) pour cc+ß=o, quand on cherche à intégrer l'équation de 

 Kummer 



rooï (lhj 1 r-( g + /*+0* <*y aß .,_ n 



Kô ' >'■>- x(i-x) dx x{x-x) J ~ 



en supposant 



a + ß = o, y = o et a — ß — un entier. 



Les systèmes fondamentaux seront (Lindelof p. 28) : 



\y n =zF(a + i,ß+ 1,2,»), 



iy» = fj(«+i,0+ l > 2 >*) + C(«+i,/S + i,2)ln«.^ 01 . 

 Ki =F(cc,ß, 1, l-a;), 

 yia = SC«,! 5 , 1, l—x)—ln(l-x).y llc 



'Mi = x-"F(a, o + l,«— 0+ i,ij , 



yœ2 = x-P%L, a +l,a-ß + i,l\ + C(a,a+i ,«-/?+!) In (jWodi- 



