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Hj. Tallqvist. 



Entre ces intégrales particulières on trouve sans peine les relations 



i 



2/11 - T(l-a)T{l-ß) îl02 ' 



lyu = r-(i-«)r(i -fly* + 8(0,0,1,0*,. 



_ T(l-a)T(a-ß+ l) Ma T(a-ß+i ) 



y*x- r (b) ?/oi + e+ [r(i_^)]» y ° 2 ' 



I>) 



*»■- r(i-«)r(«-/î) yo2 " 



Comme dans la série $(«,/}, i , as) 



v - tt -ß- i, 



g(a, /J ,i , i) et S' («, /J, i , i) auront des valeurs finies, tandis que g"(«, |i, * , œ) 

 deviendra, pour a; = i , infini comme un logarithme. 



La fonction 5 = 5(«, ß, i , a;) satisfait en ce cas à l'équation différentielle 



x(l -x) g" + (i -a)8'-o/J8 = 2(1 -a) F' (o, 0,1,*). 



Dans cette équation, en faisant varier z de manière à la rapprocher de l'unité 

 du côté des x < i en suivant l'axe réel, il vient 



g(«, 0, 1, 1) = -A lim (i -,r) F' (a, /S, l , .r) . 

 W P*=1 



Comme on a d'ailleurs 



F' (ce, ß, 1 , x) = «0F(o + 1,0+1,2,«), 



où y — a — ß = o pour la série -F(« + 1 , ß 4- 1 , 2 , a:) , on trouve 



lim(i— x)F'(<x, ß, \,x) = o 

 a; = l 



et 



g(o,/ï,i,0=o 



pour « + (3 = o, c. q. f. d. 



On saura dès à présent former d'une manière complète les relations entre 

 les intégrales de l'équation (30) dans les conditions particulières dont il s'agit. 



Remarquons encore que l'on pourra ramener quelquefois le nombre N de 

 M. LiNDELOF à des transcendantes connues, en écrivant son terme général sous 

 la forme 



a+ß+2n 



Y+2n+l 



1 + ' 



(a + n)(ß+n) (n+l)(y+n) a+11 ß+n y+n n+l 



