Über lineare Differenüa&gleichungen. 5 



Im aweiten Abschnitte werden die gewöhnlichen Transformationen von 

 Differentialgleichungen vermittelst Integralsubstitutionen von den Formen (A) 

 und (B) aus dem Gesichtspunkte der LAGRANGESchen Identität behandelt, die 

 sich in der That als die eigentliche Quelle der betreffenden und der noch all- 

 gemeineren Transformationen der folgenden Abschnitte erweist. 



Im dritten Abschnitte werden die oben aufgeworfenen Fragen für den 

 ziemlich allgemeinen Fall erörtert, wo die eine von den Functionen q , y> irgend 

 eine Differentialgleichung der Form 



(B) («„ + b„ X ) x» & + {a n _ x + &„_, x) ,"- ^L_ + . . . + (a o + K x) y = 



"■' dx 



1 ic friedigt, während die andere einer beliebigen homogenen linearen Differential- 

 gleichung mit rationalen Coefficienten genügen darf. Mit Hülfe von Aus- 

 drücken, die zu den Differentialgleichungen der Functionen y und xp gehören, 

 sind wir in diesem Falle im Stande, für das bestimmte Integral (C) eine 

 Differentialgleichung in sehr übersichtlicher Form herzustellen. Sodann kann 

 auch die letztere der obigen Fragen unter den nämlichen Voraussetzungen in 

 einem gewissen Sinne beantwortet werden. 



Im vierten Abschnitte werden von den oben angeführten wesentlich ver- 

 schiedene Integrale besprochen, nämlich solche der Form 



(E) Cip(x-t)<f(t)dt, 



(0 



wo y und i/> fortwährend als Lösungen von homogenen linearen Differential- 

 gleichungen mit rationalen Coefücienten erklärt sind. Die oben aufgeworfenen 

 Fragen können selbstverständlich ebenfalls auf Integrale der Gestalt (E) be- 

 zogen werden. Im vierten Abschnitte wird nun für solche Integrale genau 

 dasselbe geleistet, was im dritten für Integrale der Form (C) gethan wird. 

 Während aber die hyper geometrischen Differentialgleichungen (D) sich im dritten 

 Abschnitte als die einfachsten erweisen, spielen die 1/APLACESchen Gleichungen: 



(F) (a,, + b n x) d / n + (a ii ^ + b n _ l x)^L_ + ..- + (a +b x) ! j = o 



ax (Ix 



die elementare Rolle bei den Untersuchungen des vierten Abschnittes. 



Gerade bei der Integration von hypergeometrischen und LAPLACEschen 

 Differentialgleichungen sind bekanntlich die Integrale (Ä) und (B) vorzugsweise 

 und mit bestem Erfolge verwendet worden. 



