ii Hj. M el lin. 



Obgleich ein bestimmtes Integral der Form (C) durch die transcendenten 

 Substitutionen x == e , t = e * auf eine mit (E) übereinstimmende Form gebracht 

 werden kann, so müssen doch im Bereiche der linearen Differentialgleichungen 

 mit rationalen Coefficienten die Integrale (C) und (E) im Allgemeinen als 

 wesentlich verschieden betrachtet werden. Denn die Substitution x = e ver- 

 wandelt in der That auch die Coefficienten in den Differentialgleichungen, 

 denen die Factoren des Integranden genügen, in transcendente Functionen der 

 neuen Veränderlichen. — Eine bemerkenswerthe Ausnahme bildet indess das 

 Integral (B). Denn durch die Substitution (~,x) geht dasselbe über in: 



f O - t)° y (t) dt . 



(!) 



Erster Abschnitt. 



§ I- 



Es wird sich ergeben, dass die Erledigung der oben bezeichneten Auf- 

 gaben gegründet werden muss auf die Lehre von der Zusammensetzung und 

 der Zerlegung linearer Differentialausdrücke. Die Principien dieser Lehre sollen, 

 soweit sie für das Folgende erforderlich sind, in diesem § des Zusammenhanges 

 wegen hervorgehoben werden, und zwar mit Benutzung der, in der englischen 

 Litteratur gebräuchlichen, symbolischen Bezeichungsweise, ohne welche fast 

 unüberwindliche Weitläufigkeiten späterhin kaum zu vermeiden wären. 



Wird in einem homogenen linearen Differentialausdrucke Q (y) die abhän- 

 gige Variable y durch einen anderen ebensolchen Ausdruck P (?/) ersetzt, so 

 entsteht ein neuer Differentialausdruck, welcher aus P und Q zusammengesetzt 

 ist und durch Q (P) = Q P bezeichnet wird. Gelingt es umgekehrt, einen 

 gegebenen Differentialausdruck in dieser Form darzustellen, so sagt man, der- 

 selbe sei in zwei symbolische Factoren zerlegt. 



Obgleich nun ein aus zwei oder mehreren Differentialausdrücken zusam- 

 mengesetztes symbolisches Product im Allgemeinen von der Keihenfolge seiner 

 Factoren abhängt, so giebt es doch auch gewisse Arten von Differentialaus- 

 drücken, die dadurch bemerkenswerth sind, dass jedes symbolische Product, 

 welches aus lauter Differentialausdrücken der betreffenden Art zusammengesetzt 



