Über lineare Differentialgleichungen. 1 



ist, von der Reihenfolge der Factoren unabhängig ist. Repräsentanten zweier 

 solcher Arten sind die Ausdrücke: 



/ x di/ , 2 d*y , , d"y 



(2) ^+^+^5f + - + ^' 



wo die « willkürliche Constanten bezeichnen. Ob es noch andere solche Arten 

 gehe, soll hei dieser Gelegenheit dahin gestellt bleiben. Dass aber jeder aus 

 lauter Ausdrücken der Form (i) und ebenso jeder aus lauter Ausdrücken der 

 Form (2) zusammengesetzte Differentialausdruck von der Reihenfolge seiner 

 Factoren unabhängig ist, wird sich aus den nachstehenden Erörterungen ergeben. 

 Setzt man zur Abkürzung allgemein: 



dX , . / d 



*ï+ex=(* (/ - + e )x, 



so überzeugt man sich, wenn o, , • • • , q„ zunächst als gegeben Grössen betrach- 

 tet werden, durch den Schluss von n auf n + i von der Gültigkeit der Iden- 

 tität : 



Bei der Annahme y — x Q ergiebt sich die in Bezug auf q identische .Gleichung: 



(q + 9 t ) ■ ■ ■ (.Q + 9») = », + «k 9 + a f 9 (.9 - + • ■ • + 9 (q - 1) ■ ■ • (q - n + 1) . 



die für q = o , i , • • • , n—i eine zur Bestimmung von a , a i: ■•■ , a„_ x hinreichende 

 Anzahl Gleichungen liefert. Da die Grössen a ,---, a„_, sich als symmetrische 

 Functionen von q 1 , ■■ , q„ ergeben, so folgt, dass die linke Seite der obigen 

 Formel von der Reihenfolge ihrer symbolischen Factoren unabhängig ist. 



Umgekehrt ersieht man aber auch, dass jeder Differentialausdruck, welcher 

 die Form der rechten Seite der obigen Formel besitzt, auf die Form der linken 

 Seite gebracht werden kann, wenn die Grössen o i , • • • , q„ der oben angeführten 

 Gleichung gemäss definirt werden. Nimmt man insbesondere a = a 1 = --- = a B _ 1 =;p 

 an, so entsteht die Formel: 



, , „ d"y d t d \ ( ' d \ 



Benutzt man weiter die Symbolik: 



