Über lineare DifferenMgleiehungen. 9 



In analoger Weise können auch die Differentialausdriicke von der Form 

 (2) behandelt werden. Durch den Schluss von n auf ra+i überzeugt man 

 sich, wenn Q lt ---,Q n zunächst als gegebene Grössen betrachtet Verden, von der 

 Gültigkeit der Identität 



Bei der Annahme y = e ergiebt sich: 



O + ?,)•■• (Q + 9») = «. + «, Q + «, Q* + ■■■ + {>" ■ 



so dass die Grössen a gleich den elementaren symmetrischen Functionen von 

 o, , • • • , q n sind, woraus weiter folgt, dass die linke Seite der obigen Formel von 

 der Reihenfolge ihrer symbolischen Factoren unabhängig ist. 



Umgekehrt ersieht man aber auch, dass jeder Differentialausdruck, welcher 

 die Form der rechten Seite hat, auf die Form der linken Seite gebracht werden 

 kann, wenn q,, ■■■,()„ der obigen Gleichung gemäss bestimmt werden. 



d v ii d v I d \ v 

 Setzt man ferner — % — — jy = [,)y, so kann die obige Formel nach 

 dx dx V'-'J 



Multiplication mit c„ folgenderweise geschrieben werden: 



< 8 > m+*.)(å+4-(£+'>=2 



» \d.ej 



v=0 



wo also die c die, mit c„ multiplicirten, elementaren symmetrischen Functionen 

 von o, , • • • , q„ bezeichnen. 



Bezeichnet f(o) eine ganze rationale Function von o, so hat nach dem 



Obigen die Bezeichnung Wy-) y einen wohlbestimmten Sinn, indem sie einen 



Differentialausdruck vorstellt, welcher in der Form der linken oder in der der 

 rechten Seite von (8) auftreten kann. 



Durch wiederholte Anwendung der evidenten Gleichungen: 



(l+a)e ex = e< x { Q + «), 



Id. \ ox ox t d , \ ox I d , \ I d \ de 



(tx + t y= e [Tx + 9 +a )y> ' U +B ) y= U-» + T ■"■ 



ergeben sich die allgemeineren Formeln: 



