Über lineare Differentialgleichungen. 1 1 



mit ganzen rationalen Coefficienten — und gleichzeitig auch jede homogene 

 lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten — auf zwei verschiedene, 

 charakteristische Formen gebracht werden, welche hei gewissen Untersuchungen 

 vorteilhafter sind als die gewöhnliche, nach den Ableitungen von y geordnete 

 Form. 



Jede homogene lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten 

 kann in der That zuvörderst auf die Form gebracht werden: 



6' 



C3) SA,- y. 



lit y 



X — T. =0, 



wo die A constante Grössen und die À nicht negative ganze Zahlen bezeichnen. 

 Wird die linke Seite nach Potenzen von x geordnet, so werden die Coefficien- 

 ten elementare Differentialausdrücke von der Form W-i-) y. Auf diese Weise 

 erhält die Differentialgleichung die Gestalt: 



m /.(â>+*/(a>+---W.(E)*=°. 



und dies ist die eine von den charakteristischen Formen. 



Soll die Differentialgleichung (13) auf die andere von den fraglichen For- 

 men gebracht werden, so multiplicirt man sie — falls die Zahl 1 in irgend 

 einem Gliede kleiner ist als die Zahl ;< — mit der niedrigsten ganzzahligen 

 Potenz von x , welche bewirkt, dass X in keinem Gliede kleiner ist als (t . Setzt 

 man hierauf in jedem Gliede X = p + v und der Formel (3) gemäss: 



„(fy d I d \ I d \ 



so kann che Differentialgleichung, nachdem die einzelnen Glieder nach Potenzen 

 d 

 dx 



des Symbols x -, entwickelt worden, zunächst auf die Form gebracht werden : 



5X^B^ =o - 



Wird die linke Seite weiter nach Potenzen von x geordnet, so werden die 

 Coefficienten elementare Differentialausdrücke der Form fix j-\ y . Die Diffe- 

 rentialgleichung erhält also schliesslich die Gestalt: 



