J2 Hj. Meliün. 



05) F^y+xF^y+^ + x'F^x^y^ 



und dies ist die andere charakteristische Form. 



Zwischen den linken Seiten der Gleichungen (14) und (15) besteht offenbar 

 eine Identität von der Form: 



1t »1 



x 



v=0 v—O 



wo p eine nicht negative ganze Zahl bezeichnet. 



Lassen wir die ganz einfachen Differentialgleichungen 



f(£\y=° und M x £\y=° 



il.i-J J \ dx, 



bei Seite, von denen bekanntlich die erstere mit Hülfe von Exponentialfunctio- 

 nen und Potenzen, die letztere mit Hülfe von l'otenzen und Logarithmen inte- 

 grirt werden kann, so nehmen die Gleichungen (14) und (15) ihre einfachsten 

 Formen an : die erstere, wenn n = 1 , und die letztere, wenn m = 1 ist. Im All- 

 gemeinen kann jedoch nicht gleichzeitig 11 — 1 und m = 1 sein, wofern nämlich 

 (14) und (15) als verschiedene Formen einer und derselben Differentialgleichung 

 betrachtet werden. Damit in der That eine Differentialgleichung auf die Form 



f-{£)y +x f>{i)y=° 



gebracht werden könne, muss sie offenbar eine LAPLACESche Differentialgleichung . 

 sein : 



(«p +W-;+ ( v. + & *-. *) ttt + -+(% + K ■'-) y=°- 



dx djf 



Soll sie dagegen die Form 



annehmen können, so muss sie eine hypergeometrische Differentialgleichung sein : 



(a p+ b p x) a f d -l + (a p _ i + b p _ l x)x^^-+... + (a + b x)y = o. 

 dx d.r 



