Über lineare Differentialgleichungen. 13 



Die Differentialgleichungen der Functionen e* und (i x~) a , welche in den 

 am Anfange dieser Arbeit angefühi'ten Entegralen (A) und (11) vorkommen, 

 können gleichzeitig als LAPLACESche und hypergeometrische betrachtet werden. 



Es wurde schon am Anfange dieser Arbeit erwähnt, dass die hypergeo- 

 metrischen Differentialgleichungen bei den Untersuchungen des dritten, die 

 L.vrj.At Eschen aber bei denen des vierten Abschnittes, die Rolle von elementaren 

 Differentialgleichungen spielen werden. 



§2. 

 Ähnlich wie sich der Ausdruck 



durch Multiplication mit q — 6 in den binomischen Ausdruck </ <>'' verwandelt, 

 hat auch der bilineare Differentialausdruck 



S_l 1-2 , A-3 1 1 



il i/ (l: il il <! : il 'I , / N '.-i d - 



dx*- 1 '<' dx* 2 '/'■ dx"- 3 V ' dx*"' 



die analoge Eigenthümlichkeit, dass er durch Differentiation in den binomischen 



Ausdruck s- \— (— i) k y- ",. übergebt, so dass also: 

 dx dx 



,. ,. *— i ., v ,*--i— » 



(l6) **?-<- 1 )y s? =s2,(-0^-^ 



V— 



ist. Hetzt man s = (p(— x), y = ip(z) und integrirt, so entstellt die Integral- 

 formel : 



fc-1 ffc-1— >) 



f «^ (,:) y (- .r) rf x - ftp (x) V™ (- x) dx = ^ if {y ' (- x) 9 (x) ," 



welche in dem KnoNECKERSchen Aufsatze lieber eine bei der partiellen Integra- 

 tion nützliche Formel (Berl. Ber. 1885) die Grundlage der Untersuchungen 

 bildet. 



Mit Benutzung von (16) erhält man unmittelbar die von Lagrange ent- 

 deckte Identität : 



