Über lineare Differentialgleichungen. 15 



Setzt man zur Abkürzung: 



*=o 

 und : 



o* /r..«]= / - ( ^£ ö =2<-.2»~-*«'. 



*• k=\ »'=0 



so kann die Gleichung (18) in der charakteristischen Form: 



(20) 8 f[ x a^y-yf{- x r^ 8=x if[ x Txy- x Tx e ] 



geschriehen werden, wofern zugleich auf der rechten Seite die Erklärungen: 



o 



d V / d\ I à \ ( d " ' 



x Tj)=[ x ( ir)y>[- x -<E*) = {- x d, 



angenommen werden. 



Die Gleichung (20) enthält nun die Beantwortung unserer Frage für den 



Fall, dass es sich um den elementaren Differentialausdruck fix ,\y handelt. 



Mit Hülfe von (20) ergiebt sich aber auch die allgemeinere Formel: 



»1 m m 



< 2 " »2'/.(-«)'-»Xa(-S a =«»2a[.£».-£^]. 



v=0 



welche unsere Frage auch für den Fall beantwortet, dass es sich um einen 

 beliebigen homogenen linearen Differentialausdruck mit ganzen rationalen Coeffi- 

 cienten handelt. Die f v [g,ß] sind gemäss der Gleichung (19) zu erklärende 

 ganze rationale Functionen. 



Indem wir für den Differenzenquotienten einer Function /(q) ein besonderes 

 Zeichen /"[«?, ß] anwenden, welches an die ursprüngliche Function erinnert, 

 werden wir späterhin im Stande sein, gewisse verwickelte Differentialausdrücke 

 in verhältnissmässig einfacher Form symbolisch darzustellen. Die Nützlichkeit 

 dieses Zeichens dürfte schon aus (21) einleuchten. 



Man erhält eine bemerkenswerthe zweite Form für den Differentialausdruck 



w /[«£».--£']=2*2(«£F(- 



x dx*> 



