18 



Hj. Mellin. 



§ 3. 



In diesem § werden die Formeln hergeleitet, welche den Untersuchungen 

 des dritten Anschnittes zu Grunde liegen. An Stelle der am Anfange dieser 

 Arheit erwähnten Integrale (C) sollen im dritten Abschnitte, ans dort anzu- 

 gebenden Gründen, ausschliesslich Integrale der Form 



H)^ 



o 



behandelt werden. Deswegen beziehen sich auch die Erörterungen dieses § 

 unmittelbar mir auf Integrale dieser Form. 



In der Formel (20) soll nunmehr die unabhängige Variable durch f bezeich- 

 net werden. Multiplicirt man zugleich jene Formel mit t~\ so folgt: 



rv(<|)*=rvKHl/[^.-^]. 



In dieser Gleichung setze man nun y = (p(t), s = tpi : j und beachte, dass 





ergiebt sich aus der obigen Gleichung durch Integration: 



Alsdann 



*> s- t * m s »»=/?* ®/i'$* (*)+' 



Knf^.rJ' 



Im Folgenden wird stets angenommen, dass <f(t) von dem Parameter x 

 unabhängig ist. Werden nun die Integrale zwischen bestimmten, von x unab- 

 hängigen Grenzen genommen, so erhält man aus (26) die bemerkenswerthe 

 Formel : 



<"> j>(;)/KWM4).f« 



V)1'+/ 



, d d , 



1 Tt*'* dJ' 



Diese Formel wurde unter der Voraussetzung erhalten, dass die Grenzen 

 a und b von x unabhängig sind. Nunmehr soll (26) unter der ebenfalls nahe 

 liegenden Annahme erörtert werden, dass die Integrale zwischen den bestimm- 

 ten Grenzen t = a und t = bx genommen werden. Auch in diesem Falle wird 

 sich eine Formel ergeben, die im Wesentlichen mit (27) übereinstimmt. 



