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Wir wollen bei dieser Gelegenheit nicht untersuchen, welche Veränderungen 



diese Formeln hei den nahe liegenden Substitutionen L — t und , =r erleiden. 



Mit Rücksicht auf die Anwendungen der obigen Formeln ist, es von Wich- 

 tigkeit, dass die darin vorkommenden bestimmten Integrale keinen unnöthigen 

 Beschränkungen unterworfen werden. Wir nehmen natürlich den vortheilhaf- 

 testen Standpunkt ein. wenn wir die Integration im Allgemeinen auf complexem 

 Wege und zwischen complexen Grenzen ausgeführt denken. In den Formeln 

 I und I' ist also der Fall nicht ausgeschlossen, dass die Grenzen a und b 

 einander gleich sind, d. h. dass die Integrale über eine geschlossene Curve 

 erstreckt sind. In den Formeln III und III' kann gleichfalls a-b sein, was 

 den Sinn hat, dass die Integration auf beiden Seiten über eine geschlossene 

 Ourve erstreckt wird, die vom Punkte t = ax ausgehend nach demselben Punkte 

 zurück führt. 



Bezeichnen wir die jedesmalige, gerade oder krumme Linie, über welche 

 unsere Integrale erstreckt sind, durch l, so kann jede der obigen Gruppen von 

 Formeln durch eine einzige Formel repräsentirt werden. Denn alsdann er- 

 halten die Formeln I, II, III die gemeinsame Gestalt: 



(34) J>(?)/(< D« (0=4 X)M;j, of +*(.), 



(0 0) 



während I', II', IIP die Form: 



«> Jr»(V(-s)»(;)=/(-i)/*(7)*WT + *» 



annehmen. 



Bei den Anwendungen im dritten Abschnitte werden wir auf diese For- 

 meln (34) und (35) hinweisen. Die nähere Form der Ausdrücke M(x) und 

 N(x), die auch identisch verschwinden können, ergiebt sich jedesmal aus den 



Gleichungen I bis IIP. 



Schliesslich darf eine bei den Anwendungen nützliche Hegel nicht uner- 

 wähnt gelassen werden. Ersetzt man in den Formeln I bis IIP die Function 



i/'(y) durch l x \ f( X .) und </ durch ftp, so erhält beispielsweise die Formell, 



