I 'ber lineare Differentialgleichungen, 

 während Y, II', III' die Form: 



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(43) Jdt- g (t)f(±) y(x-t)=f[^y(x-t)<p(()dt+N{x) 



h » 



annehmen. 



Bei den Anwendungen im vierten Abschnitte werden wir auf diese For- 

 meln (42) und (43) hinweisen. Die nähere Form der Ausdrücke M (x) und 

 N(x), die auch identisch verschwinden können, findet man jedesmal aus den 

 Gleichungen I bis III'. 



Schliesslich verdient die folgende, an der Hand des § 3 sich leicht erge- 

 bende, bei den Anwendungen nützliche Regel beachtet zu werden: Wird in 



den obigen Formeln I bis III' der sgmbolische Ausdruck /(-,) durch /{',,+ «), 

 resp. fij-) durch f\-y + «) ersetzt, so ist auch 



f 



d d_ 

 dtV'dx 



t^/lim**)* >(&+*)* 



zu ersetzen. 



Zweiter Abschnitt. 



§6. 



Es giebt bekanntlich zwei von Lapiace herrührende Methoden, von denen 

 die eine die Integration einer gegebenen linearen Differentialgleichung, die 

 andere die Lösung einer vorgelegten linearen Differenzen-Gleichung, durch eine 

 Integralsubstitution abhängig macht von der Integration einer gewissen linearen 

 Differentialgleichung. Da diese beiden LAPLACESchen Transformationen ihre 

 natürliche Quelle in der LAGRANGEschen Identität haben, was aber nicht ge- 

 nügend beachtet zu sein scheint, so sollen sie von diesem Gesichtspunkte aus 

 hier betrachtet werden. 



Zuvörderst soll eine bei der LAPLACESchen Transformation von Differential- 

 gleichungen nützliche Formel vorausgeschickt werden. 



Setzt man in der Formel (12) u — t , v — e\ so folgt mit Benutzung von (9): 



