28 Hj. Mellin. 





Ist k eine positive ganse Zahl, so ist ( ) =o, wenn v>k ist, während/ (x) — o, 



sobald r>n ist. Unter der genannten Annahme über h kann also die obere 

 Grenze der Sommation durch k ersetzt werden, wodnrch sich ergiebt: 



v = 



Die so erhaltene Formel 



v=0 



(44) /(a)[M=^[A*)<>1 



kann aber leicht verallgemeinert werden. Multiplicirt man nämlich auf beiden 

 Seiten mit c ; und setzt k = o , i , 2 , • • • , m , so ergiebt sich durch Addition der 

 so entstehenden Gleichungen: 



(45) /(|) fr (9 <l = *(|)[/(*)<l, 



wo die Abkürzung benutzt wird: 



m 



Ersetzt man in (45) % durch — #, so folgt: 



(46) />(!) [0F (0 e~*<] = fir (- *) [/(- *) e-i . 



Beiläufig sei bemerkt, dass man aus (45) mit Benutzung von (10) die ei- 

 gen thümliche Formel erhält: 



/(*+•)»» =*(b+')/«- 



Das Wesentliche bei der LAPLACESchen Transformation von Differential- 

 gleichungen kann nunmehr folgenderweise dargestellt werden. 



